Savoir si un point appartient à la courbe d'une fonction - Exercice 2

12 min
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COMPETENCES :
1°) Connaitre et utiliser le langage d'une fonction : (image, antécédent).
2°) Savoir calculer en utilisant le langage algébrique. (Lettres, symboles, etc).
On considère toujours la fonction ff définie par f(x)=2x2−3x+1f(x)=2x^2-3x+1 et sa courbe représentative Cf\mathscr{C}_f.
Question 1

Déterminer les coordonnées du point de Cf\mathscr{C}_f d'abscisse 00.

Correction
Le point de Cf\mathscr{C}_f d'abscisse 00 a pour ordonnée f(0)f(0).
f(0)=2×02−3×0+1f(0)=2\times 0^2-3\times 0+1
f(0)=1f(0)=1

Le point de Cf\mathscr{C}_f d'abscisse 00 est le point (0  ;  1)\left(0\;;\;1\right).
Question 2

Déterminer les points de Cf\mathscr{C}_f d'ordonnée 11.

Correction
  • Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
  • Ainsi : A×B=0A\times B=0 équivaut à A=0A=0 ou B=0B=0.
Les points de Cf\mathscr{C}_f d'ordonnée 11 ont pour abscisses les antécédents de 11 : il nous faut résoudre l'équation f(x)=1f(x)=1.
f(x)=1f(x)=1 équivaut successivement à :
2x2−3x+1=12x^2-3x+1=1
2x2−3x+1−1=1−12x^2-3x+1{\color{blue}-1}=1{\color{blue}-1}
2x2−3x=02x^2-3x=0
x(2x−3)=0x(2x-3)=0     \;\; On factorise par xx : on obtient une équation produit nul.
x=0x=0   \; ou   \; 2x−3=02x-3=0
x=0x=0   \; ou   \; 2x=32x=3
x=0x=0   \; ou   \; x=1,5x=1{,}5

Les points de Cf\mathscr{C}_f d'ordonnée 11 sont (0  ;  1)\left(0\;;\;1\right) et (1,5  ;  1)\left(1{,}5\;;\;1\right).
Question 3

Vérifier que pour tout nombre xx, f(x)=(2x−1)(x−1)f(x)=(2x-1)(x-1).

Correction
  • Si on considère 44 nombres relatifs (a,  b,  c,  d),(a,\;b,\;c,\;d),  \;alors : (a+b)(c+d)=a×c+a×d+b×c+b×d\small{\color{red}\boxed{(a+b)(c+d)=a\times{c}+a\times{d}+b\times{c}+b\times{d}}}
  • (a+b)2=a2+2ab+b2\small{\color{red}\boxed{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}}   \; et   \; (a−b)2=a2−2ab+b2\small{\color{red}\boxed{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}}
On développe l'expression (2x−1)(x−1)(2x-1)(x-1) :
(2x−1)(x−1)=2x×x+2x×(−1)+(−1)×x+(−1)×(−1)(2x-1)(x-1)=2x\times x+2x\times(-1)+(-1)\times x+(-1)\times(-1)
(2x−1)(x−1)=2x2−2x−x+1(2x-1)(x-1)=2x^2-2x-x+1
(2x−1)(x−1)=2x2−3x+1(2x-1)(x-1)=2x^2-3x+1
On retrouve bien l'expression de f(x)f(x) : pour tout nombre xx, f(x)=(2x−1)(x−1)f(x)=(2x-1)(x-1).
Question 4

En déduire les points où la courbe Cf\mathscr{C}_f coupe l'axe des abscisses.

Correction
Les points de l'axe des abscisses ont pour ordonnée 00 : il nous faut résoudre l'équation f(x)=0f(x)=0. On utilise la forme factorisée de la question 3 :
(2x−1)(x−1)=0(2x-1)(x-1)=0     \;\; C'est une équation produit nul.
2x−1=02x-1=0   \; ou   \; x−1=0x-1=0
2x=12x=1   \; ou   \; x=1x=1
x=0,5x=0{,}5   \; ou   \; x=1x=1

La courbe Cf\mathscr{C}_f coupe l'axe des abscisses aux points (0,5  ;  0)\left(0{,}5\;;\;0\right) et (1  ;  0)\left(1\;;\;0\right).

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