Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation - Exercice 3

10 min
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COMPETENCES :
1°) Savoir utiliser un graphique pour y lire les informations demandées.
2°) Savoir résoudre des problèmes.
Un jour de printemps, on a relevé la température extérieure entre 66 h et 2222 h. La courbe ci-dessous représente la fonction TT qui, à l'heure tt, associe la température T(t)T(t) en degrés Celsius.
Question 1

Quelle était la température à 1010 h ? Écrire le résultat avec la fonction TT.

Correction
Ici, on souhaite déterminer l'image de 1010 par la fonction TT, c'est-à-dire T(10)T(10). Pour cela :
∙\bullet On repère le point d'abscisse 1010 sur l'axe des abscisses, et ensuite, on rejoint la courbe verticalement.
∙\bullet Ensuite, en partant du point de la courbe, on rejoint l'axe des ordonnées. (En ce point se trouve la valeur recherchée.)
À l'aide du graphique, on lit :
T(10)=20T(10)=20
On peut donc conclure qu'à 1010 h, la température était de 2020 °C.
Question 2

À quelle heure la température a-t-elle été maximale ? Quelle était cette température ?

Correction
La température est maximale au point le plus haut de la courbe, le point (14  ;  24)\left(14\;;\;24\right).
La température a été maximale à 1414 h : elle était alors de 2424 °C.
Question 3

Pendant combien de temps la température a-t-elle été supérieure ou égale à 2020 °C ?

Correction
  • Les solutions de l'équation f(x)=kf(x)=k sont les abscisses des points de la courbe Cf\mathscr{C}_f qui ont pour ordonnée kk : on trace la droite d'équation y=ky=k et on lit les abscisses des points d'intersection.
  • Les solutions de l'inéquation f(x)≤kf(x)\leq k sont les abscisses des points de la courbe situés sur ou sous la droite d'équation y=ky=k (sur ou au-dessus pour f(x)≥kf(x)\geq k).
Il nous faut résoudre graphiquement l'inéquation T(t)≥20T(t)\geq 20 : on trace la droite d'équation y=20y=20, et on cherche les abscisses des points de la courbe situés sur ou au-dessus de cette droite.
La température a été supérieure ou égale à 2020 °C de 1010 h à 1818 h, c'est-à-dire pendant 18−10=818-10=8 heures.
On peut donc conclure que la température a été supérieure ou égale à 2020 °C pendant 88 heures.
Question 4

On admet que T(t)=24−0,25(t−14)2T(t)=24-0{,}25(t-14)^2. Vérifier par le calcul les heures trouvées à la question 3.

Correction
T(10)=24−0,25×(10−14)2=24−0,25×(−4)2=24−0,25×16=24−4=20T(10)=24-0{,}25\times(10-14)^2=24-0{,}25\times(-4)^2=24-0{,}25\times 16=24-4=20
T(18)=24−0,25×(18−14)2=24−0,25×42=24−0,25×16=24−4=20T(18)=24-0{,}25\times(18-14)^2=24-0{,}25\times 4^2=24-0{,}25\times 16=24-4=20
On retrouve bien une température de 2020 °C à 1010 h et à 1818 h.

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