Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation - Exercice 2

10 min
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COMPETENCES :
1°) Savoir utiliser un graphique pour y lire les informations demandées.
2°) Savoir calculer en utilisant le langage algébrique. (Lettres, symboles, etc).
On a tracé à nouveau la courbe Cf\mathscr{C}_f, ainsi que la droite Cg\mathscr{C}_g qui représente la fonction gg définie par g(x)=x+1g(x)=x+1.
Question 1

Résoudre graphiquement l'équation f(x)=g(x)f(x)=g(x).

Correction
  • Les solutions de l'équation f(x)=g(x)f(x)=g(x) sont les abscisses des points d'intersection des courbes Cf\mathscr{C}_f et Cg\mathscr{C}_g.
  • Les solutions de l'inéquation f(x)≤g(x)f(x)\leq g(x) sont les abscisses des points de Cf\mathscr{C}_f situés sur ou sous Cg\mathscr{C}_g.
On cherche les abscisses des points d'intersection des courbes Cf\mathscr{C}_f et Cg\mathscr{C}_g : on part de chaque point d'intersection, et on rejoint l'axe des abscisses.
On peut donc conclure que les solutions de l'équation f(x)=g(x)f(x)=g(x) sont −1-1 et 55.
Question 2

Résoudre graphiquement l'inéquation f(x)≤g(x)f(x)\leq g(x).

Correction
On cherche les abscisses des points de Cf\mathscr{C}_f situés sur ou sous la droite Cg\mathscr{C}_g (partie rouge de la courbe).
On peut donc conclure que les solutions de l'inéquation f(x)≤g(x)f(x)\leq g(x) sont les nombres xx tels que −1≤x≤5-1\leq x\leq 5.
Question 3

On admet que f(x)=0,5x2−x−1,5f(x)=0{,}5x^2-x-1{,}5. Vérifier par le calcul les solutions trouvées à la question 1.

Correction
Pour x=−1x=-1 :   f(−1)=0,5×(−1)2−(−1)−1,5=0,5+1−1,5=0\;f(-1)=0{,}5\times(-1)^2-(-1)-1{,}5=0{,}5+1-1{,}5=0   \; et   \; g(−1)=−1+1=0g(-1)=-1+1=0.
Pour x=5x=5 :   f(5)=0,5×52−5−1,5=12,5−5−1,5=6\;f(5)=0{,}5\times 5^2-5-1{,}5=12{,}5-5-1{,}5=6   \; et   \; g(5)=5+1=6g(5)=5+1=6.
Dans les deux cas, f(x)=g(x)f(x)=g(x) : les nombres −1-1 et 55 sont bien solutions de l'équation.

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