Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation - Exercice 1

12 min
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COMPETENCES :
1°) Savoir utiliser un graphique pour y lire les informations demandées.
2°) Connaitre et utiliser le langage d'une fonction : (image, antécédent).
On a tracé ci-dessous la courbe Cf\mathscr{C}_f d'une fonction ff définie pour les nombres xx compris entre −3-3 et 55.
Question 1

Résoudre graphiquement l'équation f(x)=0f(x)=0.

Correction
  • Les solutions de l'équation f(x)=kf(x)=k sont les abscisses des points de la courbe Cf\mathscr{C}_f qui ont pour ordonnée kk : on trace la droite d'équation y=ky=k et on lit les abscisses des points d'intersection.
  • Les solutions de l'inéquation f(x)≤kf(x)\leq k sont les abscisses des points de la courbe situés sur ou sous la droite d'équation y=ky=k (sur ou au-dessus pour f(x)≥kf(x)\geq k).
Résoudre l'équation f(x)=0f(x)=0 revient à chercher les antécédents de 00 par ff. Pour cela :
∙\bullet On repère le point d'ordonnée 00, et ensuite, on rejoint la courbe horizontalement. (Cela revient à tracer la droite d'équation y=0y=0.)
∙\bullet Ensuite, au(x) point(s) d'intersection de la droite d'équation y=0y=0 et de la courbe, on rejoint l'axe des abscisses. (En ce point se trouve la ou les valeur(s) recherchée(s).)
Ici, la droite d'équation y=0y=0 est l'axe des abscisses : la courbe le coupe en deux points.
On peut donc conclure que les solutions de l'équation f(x)=0f(x)=0 sont −1-1 et 33.
Question 2

Résoudre graphiquement l'équation f(x)=2,5f(x)=2{,}5.

Correction
Résoudre l'équation f(x)=2,5f(x)=2{,}5 revient à chercher les antécédents de 2,52{,}5 par ff. Pour cela :
∙\bullet On repère le point d'ordonnée 2,52{,}5, et ensuite, on rejoint la courbe horizontalement. (Cela revient à tracer la droite d'équation y=2,5y=2{,}5.)
∙\bullet Ensuite, au(x) point(s) d'intersection de la droite d'équation y=2,5y=2{,}5 et de la courbe, on rejoint l'axe des abscisses. (En ce point se trouve la ou les valeur(s) recherchée(s).)
On peut donc conclure que les solutions de l'équation f(x)=2,5f(x)=2{,}5 sont −2-2 et 44.
Question 3

Résoudre graphiquement l'inéquation f(x)≤0f(x)\leq 0.

Correction
  • Les solutions de l'équation f(x)=kf(x)=k sont les abscisses des points de la courbe Cf\mathscr{C}_f qui ont pour ordonnée kk : on trace la droite d'équation y=ky=k et on lit les abscisses des points d'intersection.
  • Les solutions de l'inéquation f(x)≤kf(x)\leq k sont les abscisses des points de la courbe situés sur ou sous la droite d'équation y=ky=k (sur ou au-dessus pour f(x)≥kf(x)\geq k).
On cherche les nombres xx dont l'image est négative ou nulle, c'est-à-dire les abscisses des points de la courbe situés sur ou sous l'axe des abscisses (partie rouge de la courbe).
On peut donc conclure que les solutions de l'inéquation f(x)≤0f(x)\leq 0 sont tous les nombres xx compris entre −1-1 et 33, c'est-à-dire tels que −1≤x≤3-1\leq x\leq 3.
Question 4

Résoudre graphiquement l'inéquation f(x)≥2,5f(x)\geq 2{,}5.

Correction
On trace la droite d'équation y=2,5y=2{,}5, et on cherche les abscisses des points de la courbe situés sur ou au-dessus de cette droite (parties rouges de la courbe).
Ici, il faut faire attention : la courbe s'arrête en x=−3x=-3 et en x=5x=5, et elle est au-dessus de la droite de chaque côté.
On peut donc conclure que les solutions de l'inéquation f(x)≥2,5f(x)\geq 2{,}5 sont les nombres xx tels que −3≤x≤−2-3\leq x\leq -2, ou tels que 4≤x≤54\leq x\leq 5.
Question 5

L'équation f(x)=−3f(x)=-3 a-t-elle des solutions ? Justifier.

Correction
Le point le plus bas de la courbe est le point (1  ;  −2)\left(1\;;\;-2\right) : toutes les images sont supérieures ou égales à −2-2.
La droite d'équation y=−3y=-3 est donc entièrement sous la courbe : elle ne la coupe pas.
On peut donc conclure que l'équation f(x)=−3f(x)=-3 n'a pas de solution : −3-3 n'a pas d'antécédent par ff.

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