La fonction carré - Exercice 1

15 min

COMPETENCES :
1°) Passer d'un mode de représentation d'une fonction à un autre (formule, tableau de valeurs, courbe).
2°) Savoir utiliser un graphique pour y lire les informations demandées.
On considère la fonction carré

f

définie par

f(x)=x^2

Question 1

Compléter le tableau de valeurs suivant.

Correction

f(-3)=(-3)^2=9

\;\;\;

f(-2)=(-2)^2=4

\;\;\;

f(-1)=(-1)^2=1

\;\;\;

f(0)=0^2=0

f(1)=1^2=1

\;\;\;

f(2)=2^2=4

\;\;\;

f(3)=3^2=9

Question 2

Que remarque-t-on sur les images de deux nombres opposés, comme $-3$ et $3$ ? Qu'en déduit-on pour la courbe ?

Correction

Deux nombres opposés ont le même carré :

(-3)^2=3^2=9

, et plus généralement

(-x)^2=x^2

.
Deux nombres opposés ont la même image : la courbe de la fonction carré est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Cette courbe s'appelle une parabole.

Question 3

Tracer la courbe de la fonction carré, puis résoudre graphiquement l'équation $x^2=5$ . Donner les valeurs exactes des solutions.

Correction

Un carré est toujours positif ou nul : pour tout nombre $x$ , $x^2\geq 0$ .
Si $a\gt 0$ , l'équation $x^2=a$ a deux solutions : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ .
L'équation $x^2=0$ a une seule solution : $0$ . Si $a\lt 0$ , l'équation $x^2=a$ n'a pas de solution.

On place les points du tableau, on les relie par une courbe régulière, puis on trace la droite d'équation

y=5

Graphiquement, on lit deux solutions : environ

-2{,}2

2{,}2

.
Les valeurs exactes sont les deux nombres dont le carré est égal à

5

x=\sqrt{5}

\;

\;

x=-\sqrt{5}

Les solutions de l'équation $x^2=5$ sont $-\sqrt{5}\approx -2{,}24$ et $\sqrt{5}\approx 2{,}24$ .

Question 4

Résoudre graphiquement l'inéquation $x^2\leq 4$ .

Correction

Les solutions de l'équation $f(x)=k$ sont les abscisses des points de la courbe $\mathscr{C}_f$ qui ont pour ordonnée $k$ : on trace la droite d'équation $y=k$ et on lit les abscisses des points d'intersection.
Les solutions de l'inéquation $f(x)\leq k$ sont les abscisses des points de la courbe situés sur ou sous la droite d'équation $y=k$ (sur ou au-dessus pour $f(x)\geq k$ ).

On trace la droite d'équation

y=4

, et on cherche les abscisses des points de la parabole situés sur ou sous cette droite (partie rouge).

Les solutions de l'inéquation $x^2\leq 4$ sont les nombres $x$ tels que $-2\leq x\leq 2$ .

Question 5

Sans calculer, comparer $(-2{,}5)^2$ et $1{,}5^2$ . Justifier à l'aide de la courbe.

Correction

(-2{,}5)^2=2{,}5^2

, car deux nombres opposés ont le même carré. Sur la partie droite de la parabole, la courbe monte : plus

x

est grand, plus son carré est grand. Comme

2{,}5\gt 1{,}5

:
$(-2{,}5)^2\gt 1{,}5^2$ .

\;

(Vérification :

(-2{,}5)^2=6{,}25

1{,}5^2=2{,}25

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La fonction carré - Exercice 1

Compléter le tableau de valeurs suivant.

Que remarque-t-on sur les images de deux nombres opposés, comme −3-3−3 et 333 ? Qu'en déduit-on pour la courbe ?

Tracer la courbe de la fonction carré, puis résoudre graphiquement l'équation x2=5x^2=5x2=5. Donner les valeurs exactes des solutions.

Résoudre graphiquement l'inéquation x2≤4x^2\leq 4x2≤4.

Sans calculer, comparer (−2,5)2(-2{,}5)^2(−2,5)2 et 1,521{,}5^21,52. Justifier à l'aide de la courbe.

Que remarque-t-on sur les images de deux nombres opposés, comme $-3$ et $3$ ? Qu'en déduit-on pour la courbe ?

Tracer la courbe de la fonction carré, puis résoudre graphiquement l'équation $x^2=5$ . Donner les valeurs exactes des solutions.

Résoudre graphiquement l'inéquation $x^2\leq 4$ .

Sans calculer, comparer $(-2{,}5)^2$ et $1{,}5^2$ . Justifier à l'aide de la courbe.