Exercices types : 33ème partie - Exercice 4

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Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant. On considère la fonction ff définie par f(x)=−x2+4xf(x)=-x^2+4x.
Question 1

« L'image de −1-1 par ff est 55. »

Correction
f(−1)=−(−1)2+4×(−1)f(-1)=-(-1)^2+4\times(-1)
f(−1)=−1−4f(-1)=-1-4
f(−1)=−5f(-1)=-5

Ici, attention : −(−1)2=−1-(-1)^2=-1, car on calcule d'abord le carré (−1)2=1(-1)^2=1, puis on prend l'opposé.
L'image de −1-1 par ff est −5-5 : l'affirmation est fausse.
Question 2

« Les nombres 00 et 44 ont la même image par ff. »

Correction
f(0)=−02+4×0=0f(0)=-0^2+4\times 0=0   \; et   \; f(4)=−42+4×4=−16+16=0f(4)=-4^2+4\times 4=-16+16=0.
00 et 44 ont la même image 00 : l'affirmation est vraie.
Question 3

« Le point K(2  ;  4)K\left(2\;;\;4\right) appartient à la courbe de ff. »

Correction
  • Le point M(a  ;  b)M\left(a\;;\;b\right) appartient à la courbe Cf\mathscr{C}_f de la fonction ff si et seulement si f(a)=bf(a)=b.
  • Pour le savoir, on calcule donc l'image de l'abscisse aa, et on la compare à l'ordonnée bb.
f(2)=−22+4×2f(2)=-2^2+4\times 2
f(2)=−4+8f(2)=-4+8
f(2)=4f(2)=4

On obtient l'ordonnée du point KK : l'affirmation est vraie.
Question 4

« Le nombre 33 a deux antécédents par ff. »

Correction
  • Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
  • Ainsi : A×B=0A\times B=0 équivaut à A=0A=0 ou B=0B=0.
Il nous faut résoudre l'équation f(x)=3f(x)=3, c'est-à-dire −x2+4x=3-x^2+4x=3.
On remarque que f(1)=−1+4=3f(1)=-1+4=3 et que f(3)=−9+12=3f(3)=-9+12=3.
11 et 33 sont deux antécédents de 33 par ff : l'affirmation est vraie.
Pour aller plus loin : −x2+4x=3-x^2+4x=3 équivaut à x2−4x+3=0x^2-4x+3=0, c'est-à-dire (x−1)(x−3)=0(x-1)(x-3)=0 : il n'y en a pas d'autres.
Question 5

« Pour tout nombre xx, f(x)≤4f(x)\leq 4. »

Correction
  • Si on considère 44 nombres relatifs (a,  b,  c,  d),(a,\;b,\;c,\;d),  \;alors : (a+b)(c+d)=a×c+a×d+b×c+b×d\small{\color{red}\boxed{(a+b)(c+d)=a\times{c}+a\times{d}+b\times{c}+b\times{d}}}
  • (a+b)2=a2+2ab+b2\small{\color{red}\boxed{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}}   \; et   \; (a−b)2=a2−2ab+b2\small{\color{red}\boxed{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}}
Calculons 4−f(x)4-f(x) :
4−f(x)=4−(−x2+4x)=4+x2−4x=x2−4x+44-f(x)=4-(-x^2+4x)=4+x^2-4x=x^2-4x+4
On reconnaît l'identité remarquable (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 avec a=xa=x et b=2b=2 :   x2−4x+4=(x−2)2\;x^2-4x+4=(x-2)^2.
Donc 4−f(x)=(x−2)24-f(x)=(x-2)^2. Or un carré est toujours positif ou nul : 4−f(x)≥04-f(x)\geq 0, donc f(x)≤4f(x)\leq 4.
L'affirmation est vraie : 44 est la plus grande image, atteinte pour x=2x=2 (point KK de la question 3).

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