Exercices types : $3$ ^ème partie - Exercice 3

15 min

On considère les fonctions

f

g

définies par

f(x)=x^2-5x+4

g(x)=2x-6

. On a calculé des images avec un tableur :

Question 1

Quelles formules a-t-on saisies dans les cellules B2 et B3, avant de les recopier vers la droite ?

Correction

Dans un tableur, une formule commence toujours par le signe « = ».
On écrit * pour multiplier et ^ pour élever à une puissance : B1^2 est le carré du nombre de la cellule B1.
Quand on recopie une formule vers la droite, B1 devient C1, puis D1, etc.

Dans la cellule B2, on calcule

f(x)=x^2-5x+4

en remplaçant

x

par le contenu de la cellule B1 :
en B2 :

=B1^2-5*B1+4

Dans la cellule B3, on calcule

g(x)=2x-6

:
en B3 :

=2*B1-6

Question 2

Vrai ou faux : « D'après le tableau, $-2$ a un seul antécédent par $f$ . » Justifier.

Correction

La deuxième ligne du tableau donne l'image de chaque nombre de la première ligne par la fonction.
La première ligne du tableau donne l'antécédent de chaque nombre de la deuxième ligne par la fonction.

On cherche

-2

sur la ligne 2 : il apparaît dans les colonnes E et F, donc

f(2)=-2

f(3)=-2

.
L'affirmation est fausse : $-2$ a (au moins) deux antécédents par $f$ , $2$ et $3$ .

Question 3

Le tableau permet-il de trouver des solutions de l'équation $x^2-5x+4=2x-6$ ? Lesquelles ?

Correction

L'équation

x^2-5x+4=2x-6

s'écrit aussi

f(x)=g(x)

: on cherche les colonnes où les lignes 2 et 3 affichent le même nombre.

\bullet

colonne E :

f(2)=-2

g(2)=-2

;

\bullet

colonne H :

f(5)=4

g(5)=4

.
Le tableau donne deux solutions de l'équation : $2$ et $5$ .

Question 4

Démontrer que l'équation $f(x)=g(x)$ équivaut à $x^2-7x+10=0$ , puis que $x^2-7x+10=(x-2)(x-5)$ . L'équation a-t-elle d'autres solutions que celles du tableau ?

Correction

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
Ainsi : $A\times B=0$ équivaut à $A=0$ ou $B=0$ .

f(x)=g(x)

équivaut successivement à :

x^2-5x+4=2x-6

x^2-5x+4{\color{blue}-2x+6}=2x-6{\color{blue}-2x+6}

x^2-7x+10=0

Développons :

(x-2)(x-5)=x\times x+x\times(-5)+(-2)\times x+(-2)\times(-5)=x^2-5x-2x+10=x^2-7x+10

.
L'équation s'écrit donc

(x-2)(x-5)=0

: c'est une équation produit nul.

x-2=0

\;

\;

x-5=0

x=2

\;

\;

x=5

L'équation n'a pas d'autres solutions que $2$ et $5$ . Un tableau de valeurs ne donne que quelques valeurs : seul le calcul permet d'être sûr d'avoir trouvé toutes les solutions.

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Exercices types : 333ème partie - Exercice 3

Quelles formules a-t-on saisies dans les cellules B2 et B3, avant de les recopier vers la droite ?

Vrai ou faux : « D'après le tableau, −2-2−2 a un seul antécédent par fff. » Justifier.

Le tableau permet-il de trouver des solutions de l'équation x2−5x+4=2x−6x^2-5x+4=2x-6x2−5x+4=2x−6 ? Lesquelles ?

Démontrer que l'équation f(x)=g(x)f(x)=g(x)f(x)=g(x) équivaut à x2−7x+10=0x^2-7x+10=0x2−7x+10=0, puis que x2−7x+10=(x−2)(x−5)x^2-7x+10=(x-2)(x-5)x2−7x+10=(x−2)(x−5). L'équation a-t-elle d'autres solutions que celles du tableau ?

Exercices types : $3$ ^ème partie - Exercice 3

Vrai ou faux : « D'après le tableau, $-2$ a un seul antécédent par $f$ . » Justifier.

Le tableau permet-il de trouver des solutions de l'équation $x^2-5x+4=2x-6$ ? Lesquelles ?

Démontrer que l'équation $f(x)=g(x)$ équivaut à $x^2-7x+10=0$ , puis que $x^2-7x+10=(x-2)(x-5)$ . L'équation a-t-elle d'autres solutions que celles du tableau ?