Exercices types : 33ème partie - Exercice 2

15 min
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On considère les deux programmes de calcul suivants :
Question 1

Montrer que lorsqu'on choisit 22 au départ, les deux programmes donnent le même résultat.

Correction
Programme A :   2+3=5\;2+3=5   ⇒\;\color{red}\Rightarrow   52=25\;5^2=25   ⇒\;\color{red}\Rightarrow   25−9=16\;25-9=16.
Programme B :   2+6=8\;2+6=8   ⇒\;\color{red}\Rightarrow   8×2=16\;8\times 2=16.
Les deux programmes donnent 1616 : ils donnent bien le même résultat.
Question 2

Même question lorsqu'on choisit −5-5 au départ.

Correction
Programme A :   −5+3=−2\;-5+3=-2   ⇒\;\color{red}\Rightarrow   (−2)2=4\;(-2)^2=4   ⇒\;\color{red}\Rightarrow   4−9=−5\;4-9=-5.
Programme B :   −5+6=1\;-5+6=1   ⇒\;\color{red}\Rightarrow   1×(−5)=−5\;1\times(-5)=-5.
Les deux programmes donnent −5-5.
Question 3

On note ff la fonction qui, au nombre choisi xx, associe le résultat du programme A, et gg celle qui associe le résultat du programme B. Exprimer f(x)f(x) et g(x)g(x) en fonction de xx, puis démontrer que f(x)=g(x)f(x)=g(x) pour tout nombre xx.

Correction
  • Si on considère 44 nombres relatifs (a,  b,  c,  d),(a,\;b,\;c,\;d),  \;alors : (a+b)(c+d)=a×c+a×d+b×c+b×d\small{\color{red}\boxed{(a+b)(c+d)=a\times{c}+a\times{d}+b\times{c}+b\times{d}}}
  • (a+b)2=a2+2ab+b2\small{\color{red}\boxed{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}}   \; et   \; (a−b)2=a2−2ab+b2\small{\color{red}\boxed{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}}
Programme A : xx   ⇒\;\color{red}\Rightarrow   x+3\;x+3   ⇒\;\color{red}\Rightarrow   (x+3)2\;(x+3)^2   ⇒\;\color{red}\Rightarrow   (x+3)2−9\;(x+3)^2-9.   \; Donc f(x)=(x+3)2−9f(x)=(x+3)^2-9.
Ici, il faut bien faire attention de mettre (x+3)\color{red}(x+3) entre parenthèses.
Programme B : xx   ⇒\;\color{red}\Rightarrow   x+6\;x+6   ⇒\;\color{red}\Rightarrow   (x+6)×x\;(x+6)\times x.   \; Donc g(x)=x(x+6)g(x)=x(x+6).
Développons :
f(x)=(x+3)2−9=x2+2×x×3+32−9=x2+6x+9−9=x2+6xf(x)=(x+3)^2-9=x^2+2\times x\times 3+3^2-9=x^2+6x+9-9=x^2+6x
g(x)=x(x+6)=x×x+x×6=x2+6xg(x)=x(x+6)=x\times x+x\times 6=x^2+6x
On obtient la même expression : pour tout nombre xx, f(x)=g(x)=x2+6x\color{blue}\boxed{f(x)=g(x)=x^2+6x}. Les deux programmes donnent toujours le même résultat.
Question 4

Quels nombres faut-il choisir au départ pour obtenir 00 ?

Correction
  • Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
  • Ainsi : A×B=0A\times B=0 équivaut à A=0A=0 ou B=0B=0.
Il nous faut résoudre l'équation g(x)=0g(x)=0, c'est-à-dire x(x+6)=0x(x+6)=0. C'est une équation produit nul :
x=0x=0   \; ou   \; x+6=0x+6=0
x=0x=0   \; ou   \; x=−6x=-6
Il faut choisir 00 ou −6-6 pour obtenir 00.
Question 5

Quel nombre faut-il choisir au départ pour obtenir −9-9 ?

Correction
Il nous faut résoudre l'équation f(x)=−9f(x)=-9. On utilise la forme f(x)=(x+3)2−9f(x)=(x+3)^2-9, qui est ici la plus pratique.
f(x)=−9f(x)=-9 équivaut successivement à :
(x+3)2−9=−9(x+3)^2-9=-9
(x+3)2−9+9=−9+9(x+3)^2-9{\color{blue}+9}=-9{\color{blue}+9}
(x+3)2=0(x+3)^2=0
Le seul nombre dont le carré est nul est 00, donc :
x+3=0x+3=0
x=−3x=-3
Vérification : g(−3)=−3×(−3+6)=−3×3=−9g(-3)=-3\times(-3+6)=-3\times 3=-9.
Il faut choisir −3-3 pour obtenir −9-9.

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