Exercices types : 33ème partie - Exercice 1

25 min
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ABCDABCD est un carré de côté 66 cm. MM est un point du segment [AB][AB], et on note xx la longueur AMAM en cm.
On construit le carré AMNPAMNP (en bleu) et le triangle MBCMBC (en orange). On s'intéresse à l'aire totale A(x)\mathscr{A}(x) de ces deux figures, en cm².
Question 1

Entre quelles valeurs le nombre xx peut-il varier ?

Correction
xx est la longueur AMAM, et MM est un point du segment [AB][AB], qui mesure 66 cm. xx est une longueur, donc x≥0x\geq 0, et MM ne peut pas dépasser BB, donc x≤6x\leq 6.
On peut donc conclure que 0≤x≤60\leq x\leq 6.
Question 2

Calculer l'aire totale lorsque x=2x=2.

Correction
Lorsque x=2x=2 : le carré AMNPAMNP a pour côté 22 cm, et le triangle MBCMBC est rectangle en BB, avec MB=6−2=4MB=6-2=4 cm et BC=6BC=6 cm.
Aire du carré : 2×2=42\times 2=4 cm².   \; Aire du triangle : MB×BC2=4×62=12\dfrac{MB\times BC}{2}=\dfrac{4\times 6}{2}=12 cm².
Lorsque x=2x=2, l'aire totale est égale à 4+12=164+12=16 cm².
Question 3

Montrer que A(x)=x2−3x+18\mathscr{A}(x)=x^2-3x+18.

Correction
Aire du carré AMNPAMNP : son côté mesure xx, donc son aire est x×x=x2x\times x=x^2.
Aire du triangle MBCMBC : il est rectangle en BB, avec MB=AB−AM=6−xMB=AB-AM=6-x et BC=6BC=6. Son aire est donc :
(6−x)×62=3(6−x)=18−3x\dfrac{(6-x)\times 6}{2}=3(6-x)=18-3x
Aire totale : A(x)=x2+18−3x\mathscr{A}(x)=x^2+18-3x, c'est-à-dire :
A(x)=x2−3x+18\mathscr{A}(x)=x^2-3x+18

Question 4

Compléter le tableau de valeurs suivant.

Correction
On remplace xx par chacune des valeurs du tableau :
A(0)=02−3×0+18=18\mathscr{A}(0)=0^2-3\times 0+18=18       \;\;\; A(1)=1−3+18=16\mathscr{A}(1)=1-3+18=16       \;\;\; A(2)=4−6+18=16\mathscr{A}(2)=4-6+18=16
A(3)=9−9+18=18\mathscr{A}(3)=9-9+18=18       \;\;\; A(4)=16−12+18=22\mathscr{A}(4)=16-12+18=22       \;\;\; A(5)=25−15+18=28\mathscr{A}(5)=25-15+18=28       \;\;\; A(6)=36−18+18=36\mathscr{A}(6)=36-18+18=36
Question 5

Tracer la courbe représentative de la fonction A\mathscr{A}. Lire les valeurs de xx pour lesquelles l'aire totale est égale à 1818 cm².

Correction
On place les points du tableau, puis on les relie par une courbe régulière. On trace ensuite la droite d'équation y=18y=18.
La droite d'équation y=18y=18 coupe la courbe aux points d'abscisses 00 et 33.
L'aire totale est égale à 1818 cm² pour x=0x=0 ou x=3x=3.
Question 6

Retrouver le résultat de la question 5 par le calcul.

Correction
  • Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
  • Ainsi : A×B=0A\times B=0 équivaut à A=0A=0 ou B=0B=0.
Il nous faut résoudre l'équation A(x)=18\mathscr{A}(x)=18.   A(x)=18\;\mathscr{A}(x)=18 équivaut successivement à :
x2−3x+18=18x^2-3x+18=18
x2−3x+18−18=18−18x^2-3x+18{\color{blue}-18}=18{\color{blue}-18}
x2−3x=0x^2-3x=0
x(x−3)=0x(x-3)=0     \;\; On factorise par xx : on obtient une équation produit nul.
x=0x=0   \; ou   \; x−3=0x-3=0
x=0x=0   \; ou   \; x=3x=3

On retrouve bien : l'aire totale est égale à 1818 cm² pour x=0x=0 ou x=3x=3.
Question 7

Vérifier que x2−3x−10=(x−5)(x+2)x^2-3x-10=(x-5)(x+2). En déduire la valeur de xx pour laquelle l'aire totale est égale à 2828 cm².

Correction
  • Si on considère 44 nombres relatifs (a,  b,  c,  d),(a,\;b,\;c,\;d),  \;alors : (a+b)(c+d)=a×c+a×d+b×c+b×d\small{\color{red}\boxed{(a+b)(c+d)=a\times{c}+a\times{d}+b\times{c}+b\times{d}}}
  • (a+b)2=a2+2ab+b2\small{\color{red}\boxed{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}}   \; et   \; (a−b)2=a2−2ab+b2\small{\color{red}\boxed{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}}
Développons : (x−5)(x+2)=x×x+x×2+(−5)×x+(−5)×2=x2+2x−5x−10=x2−3x−10(x-5)(x+2)=x\times x+x\times 2+(-5)\times x+(-5)\times 2=x^2+2x-5x-10=x^2-3x-10.
Il nous faut résoudre l'équation A(x)=28\mathscr{A}(x)=28, qui équivaut successivement à :
x2−3x+18=28x^2-3x+18=28
x2−3x+18−28=28−28x^2-3x+18{\color{blue}-28}=28{\color{blue}-28}
x2−3x−10=0x^2-3x-10=0
(x−5)(x+2)=0(x-5)(x+2)=0
x−5=0x-5=0   \; ou   \; x+2=0x+2=0
x=5x=5   \; ou   \; x=−2x=-2
Or xx est une longueur comprise entre 00 et 66 : la solution −2-2 ne convient pas.
x=5x=5

L'aire totale est égale à 2828 cm² pour x=5x=5, ce que l'on peut lire sur la courbe de la question 5.
Question 8

D'après le graphique, pour quelle valeur de xx l'aire totale semble-t-elle minimale ? Calculer cette aire.

Correction
Le point le plus bas de la courbe semble être le point d'abscisse 1,51{,}5, à mi-chemin entre 11 et 22 (qui ont la même image 1616).
A(1,5)=1,52−3×1,5+18\mathscr{A}(1{,}5)=1{,}5^2-3\times 1{,}5+18
A(1,5)=2,25−4,5+18\mathscr{A}(1{,}5)=2{,}25-4{,}5+18
A(1,5)=15,75\mathscr{A}(1{,}5)=15{,}75

L'aire totale semble minimale pour x=1,5x=1{,}5 cm : elle vaut alors 15,7515{,}75 cm².

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