Déterminer un antécédent par le calcul - Exercice 4

12 min
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COMPETENCES :
1°) Connaitre et utiliser le langage d'une fonction : (image, antécédent).
2°) Savoir calculer en utilisant le langage algébrique. (Lettres, symboles, etc).
On considère la fonction pp définie par p(x)=(x−2)(x+3)p(x)=(x-2)(x+3).
Question 1

Déterminer les antécédents de 00 par pp.

Correction
  • Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
  • Ainsi : A×B=0A\times B=0 équivaut à A=0A=0 ou B=0B=0.
Il nous faut résoudre l'équation p(x)=0p(x)=0, c'est-à-dire (x−2)(x+3)=0(x-2)(x+3)=0.
C'est une équation produit nul : un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
x−2=0x-2=0   \; ou   \; x+3=0x+3=0
x−2+2=0+2x-2{\color{blue}+2}=0{\color{blue}+2}   \; ou   \; x+3−3=0−3x+3{\color{blue}-3}=0{\color{blue}-3}
x=2x=2   \; ou   \; x=−3x=-3

Le nombre 00 a donc deux antécédents par pp : −3-3 et 22.
Question 2

Développer et réduire p(x)p(x).

Correction
  • Si on considère 44 nombres relatifs (a,  b,  c,  d),(a,\;b,\;c,\;d),  \;alors : (a+b)(c+d)=a×c+a×d+b×c+b×d\small{\color{red}\boxed{(a+b)(c+d)=a\times{c}+a\times{d}+b\times{c}+b\times{d}}}
  • (a+b)2=a2+2ab+b2\small{\color{red}\boxed{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}}   \; et   \; (a−b)2=a2−2ab+b2\small{\color{red}\boxed{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}}
p(x)=(x−2)(x+3)p(x)=(x-2)(x+3)
p(x)=x×x+x×3+(−2)×x+(−2)×3p(x)=x\times x+x\times 3+(-2)\times x+(-2)\times 3
p(x)=x2+3x−2x−6p(x)=x^2+3x-2x-6
p(x)=x2+x−6p(x)=x^2+x-6

Question 3

En déduire les antécédents de −6-6 par pp.

Correction
  • Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
  • Ainsi : A×B=0A\times B=0 équivaut à A=0A=0 ou B=0B=0.
Il nous faut résoudre l'équation p(x)=−6p(x)=-6. On utilise la forme développée de la question 2.
p(x)=−6p(x)=-6 équivaut successivement à :
x2+x−6=−6x^2+x-6=-6
x2+x−6+6=−6+6x^2+x-6{\color{blue}+6}=-6{\color{blue}+6}
x2+x=0x^2+x=0
x(x+1)=0x(x+1)=0     \;\; On factorise par xx : on obtient une équation produit nul.
x=0x=0   \; ou   \; x+1=0x+1=0
x=0x=0   \; ou   \; x=−1x=-1

Vérification : p(0)=(0−2)(0+3)=−2×3=−6p(0)=(0-2)(0+3)=-2\times 3=-6   \; et   \; p(−1)=(−1−2)(−1+3)=−3×2=−6p(-1)=(-1-2)(-1+3)=-3\times 2=-6.
Le nombre −6-6 a donc deux antécédents par pp : −1-1 et 00.

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