Déterminer un antécédent par le calcul - Exercice 3

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COMPETENCES :
1°) Connaitre et utiliser le langage d'une fonction : (image, antécédent).
2°) Savoir calculer en utilisant le langage algébrique. (Lettres, symboles, etc).
On considère la fonction carré ff définie par f(x)=x2f(x)=x^2.
Question 1

Déterminer les antécédents de 99 par ff.

Correction
  • Un carré est toujours positif ou nul : pour tout nombre xx, x2≥0x^2\geq 0.
  • Si a>0a\gt 0, l'équation x2=ax^2=a a deux solutions : a\sqrt{a} et −a-\sqrt{a}.
  • L'équation x2=0x^2=0 a une seule solution : 00. Si a<0a\lt 0, l'équation x2=ax^2=a n'a pas de solution.
Il nous faut résoudre l'équation f(x)=9f(x)=9, c'est-à-dire x2=9x^2=9.
On cherche les nombres dont le carré est égal à 99 : 32=93^2=9, mais aussi (−3)2=9(-3)^2=9.
x=3x=3   \; ou   \; x=−3x=-3

Le nombre 99 a donc deux antécédents par ff : −3-3 et 33.
Graphiquement, la droite d'équation y=9y=9 coupe la courbe de la fonction carré en deux points :
Question 2

Déterminer les antécédents de −4-4 par ff.

Correction
Il nous faut résoudre l'équation x2=−4x^2=-4.
Or un carré est toujours positif ou nul : x2≥0x^2\geq 0. Il n'existe donc aucun nombre dont le carré est égal à −4-4.
Le nombre −4-4 n'a pas d'antécédent par ff. Sur le graphique de la question 1, la droite d'équation y=−4y=-4 ne coupe pas la courbe.
Question 3

Déterminer les antécédents de 77 par ff. Donner les valeurs exactes, puis des valeurs approchées au centième.

Correction
Il nous faut résoudre l'équation x2=7x^2=7. Comme 7>07\gt 0, cette équation a deux solutions :
x=7x=\sqrt{7}   \; ou   \; x=−7x=-\sqrt{7}

À la calculatrice : 7≈2,65\sqrt{7}\approx 2{,}65   \; et   \; −7≈−2,65-\sqrt{7}\approx -2{,}65.
Le nombre 77 a deux antécédents par ff : −7-\sqrt{7} et 7\sqrt{7}.
Question 4

Déterminer les antécédents de 00 par ff.

Correction
Il nous faut résoudre l'équation x2=0x^2=0. Le seul nombre dont le carré est nul est 00.
x=0x=0

Le nombre 00 a un seul antécédent par ff : 00 lui-même.

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