Déterminer un antécédent par le calcul - Exercice 1

7 min
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COMPETENCES :
1°) Connaitre et utiliser le langage d'une fonction : (image, antécédent).
2°) Savoir calculer en utilisant le langage algébrique. (Lettres, symboles, etc).
On considère la fonction ff définie par f(x)=3x−7f(x)=3x-7.
Question 1

Déterminer l'antécédent de 55 par ff.

Correction
  • Pour déterminer le ou les antécédent(s) d'un nombre bb par une fonction ff, il faut résoudre l'équation f(x)=bf(x)=b.
  • Un nombre peut avoir un antécédent, plusieurs antécédents, ou aucun.
Pour déterminer l'antécédent de 55 par ff, il nous faut résoudre l'équation f(x)=5f(x)=5.
f(x)=5f(x)=5 équivaut successivement à :
3x−7=53x-7=5
3x−7+7=5+73x-7{\color{blue}+7}=5{\color{blue}+7}
3x=123x=12
3x3=123\dfrac{3x}{\color{blue}3}=\dfrac{12}{\color{blue}3}     \;\;On divise chaque membre par le nombre devant le xx qui ici vaut 3{\color{blue}3}
x=4x=4
Vérification : f(4)=3×4−7=12−7=5f(4)=3\times 4-7=12-7=5.
Il en résulte que 44 est l'antécédent de 55 par ff.
Question 2

Déterminer l'antécédent de −1-1 par ff.

Correction
Pour déterminer l'antécédent de −1-1 par ff, il nous faut résoudre l'équation f(x)=−1f(x)=-1.
f(x)=−1f(x)=-1 équivaut successivement à :
3x−7=−13x-7=-1
3x−7+7=−1+73x-7{\color{blue}+7}=-1{\color{blue}+7}
3x=63x=6
3x3=63\dfrac{3x}{\color{blue}3}=\dfrac{6}{\color{blue}3}
x=2x=2
Il en résulte que 22 est l'antécédent de −1-1 par ff.
Question 3

Déterminer l'antécédent de 00 par ff. Donner la valeur exacte.

Correction
Pour déterminer l'antécédent de 00 par ff, il nous faut résoudre l'équation f(x)=0f(x)=0.
f(x)=0f(x)=0 équivaut successivement à :
3x−7=03x-7=0
3x−7+7=0+73x-7{\color{blue}+7}=0{\color{blue}+7}
3x=73x=7
3x3=73\dfrac{3x}{\color{blue}3}=\dfrac{7}{\color{blue}3}
x=73x=\dfrac{7}{3}

Ici, on demande la valeur exacte : on garde la fraction 73\dfrac{7}{3}, car 7÷3=2,333…7\div 3=2{,}333\ldots ne tombe pas juste.
Il en résulte que 73\dfrac{7}{3} est l'antécédent de 00 par ff.

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