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Inéquations

Exercices type 1 - Exercice 3

10 min
25
Question 1

11 est-il solution de l'inéquation   \;25x4<14x+2-{\frac{2}{5}x}-4<{\frac{1}{4}x}+2.

Correction
  • Un  nombre  est  solution  d’une  ineˊquation  si  l’ineˊgaliteˊ  reste  vraie.\small\text{\color{black}Un\;nombre\;est\;solution\;d'une\;inéquation\;si\;l'inégalité\;reste\;vraie.}
Dans un premier temps, remplaçons dans le terme de gauche (25x4)\left(-\frac{2}{5}x-4\right) la valeur de xx par 11.
On obtient donc : 25×14-\frac{2}{5}\times{\color{blue}1}-4.
25×14=-\frac{2}{5}\times{\color{blue}1}-4=
254=-\frac{2}{5}-4=
2541=-\frac{2}{5}-\frac{4}{1}=
254×51×5=-\frac{2}{5}-\frac{4\times{\color{blue}5}}{1\times{\color{blue}5}}=       \;\;\;   Ici  on  met  les  fractions  au  meˆme  deˊnominateur.\small\text{\color{black}\;Ici\;on\;met\;les\;fractions\;au\;même\;dénominateur.}
25205=225-\frac{2}{5}-\frac{20}{5}=-\frac{22}{5}
Dans un second temps, remplaçons dans le terme de droite (14x+2)\left(\frac{1}{4}x+2\right) la valeur de xx par 11.
On obtient donc : 14×1+2\frac{1}{4}\times{\color{blue}1}+2.
14×1+2=\frac{1}{4}\times{\color{blue}1}+2=
14+2=\frac{1}{4}+2=
14+21=\frac{1}{4}+\frac{2}{1}=
14+2×41×4=\frac{1}{4}+\frac{2\times{\color{blue}4}}{1\times{\color{blue}4}}=       \;\;\;   Ici  on  met  les  fractions  au  meˆme  deˊnominateur.\small\text{\color{black}\;Ici\;on\;met\;les\;fractions\;au\;même\;dénominateur.}
14+84=94\frac{1}{4}+\frac{8}{4}=\frac{9}{4}
Or on veut l'inégalité suivante : 25x4<14x+2\color{red}-{\frac{2}{5}x}-4<{\frac{1}{4}x}+2
Or ici   \;225{\color{red}-\frac{22}{5}}  \; est  bien  infeˊrieur  aˋ\small\text{\color{black}est\;bien\;inférieur\;à}  94\;\frac{9}{4}.    \;\; \color{red}\Longrightarrow     \;\;225<94-\frac{22}{5}<\frac{9}{4}.
On  peut  donc  conclure  que  1  est  bien  une  solution  de  l’ineˊquation\small\text{\color{black}On\;peut\;donc\;conclure\;que\;1\;est\;bien\;une\;solution\;de\;l'inéquation}  25x4<14x+2.\color{black}\;-{\frac{2}{5}x}-4<{\frac{1}{4}x}+2.
Question 2

3-3 est-il solution de l'inéquation   \;37x+3>23x+2-{\frac{3}{7}x}+3>{\frac{2}{3}x}+2.

Correction
  • Un  nombre  est  solution  d’une  ineˊquation  si  l’ineˊgaliteˊ  reste  vraie.\small\text{\color{black}Un\;nombre\;est\;solution\;d'une\;inéquation\;si\;l'inégalité\;reste\;vraie.}
Dans un premier temps, remplaçons dans le terme de gauche (37x+3)\left(-\frac{3}{7}x+3\right) la valeur de xx par 3-3.
On obtient donc : 37×(3)+3-\frac{3}{7}\times{\color{blue}(-3)}+3.
37×(3)+3=-\frac{3}{7}\times{\color{blue}(-3)}+3=
97+3=\frac{9}{7}+3=
97+31=\frac{9}{7}+\frac{3}{1}=
97+3×71×7=\frac{9}{7}+\frac{3\times{\color{blue}7}}{1\times{\color{blue}7}}=       \;\;\;   Ici  on  met  les  fractions  au  meˆme  deˊnominateur.\small\text{\color{black}\;Ici\;on\;met\;les\;fractions\;au\;même\;dénominateur.}
97+217=307\frac{9}{7}+\frac{21}{7}=\frac{30}{7}
Dans un second temps, remplaçons dans le terme de droite (23x+2)\left(\frac{2}{3}x+2\right) la valeur de xx par 3-3.
On obtient donc : 23×(3)+2\frac{2}{3}\times{\color{blue}(-3)}+2.
23×(3)+2=\frac{2}{3}\times{\color{blue}(-3)}+2=
63+2=-\frac{6}{3}+2=
2+1=1-2+1=-1
Or on veut l'inégalité suivante : 37x+3>23x+2{\color{red}-\frac{3}{7}x+3>\frac{2}{3}x+2}
Or ici   \;307{\frac{30}{7}}  \; est  bien  supeˊrieur  aˋ\small\text{\color{black}est\;bien\;supérieur\;à}  1\;-1    \;\; \color{red}\Longrightarrow     \;\;307>1{\frac{30}{7}>-1}.
On  peut  donc  conclure  que  -1  est  bien  une  solution  de  l’ineˊquation\small\text{\color{black}On\;peut\;donc\;conclure\;que\;-1\;est\;bien\;une\;solution\;de\;l'inéquation}  37x+3>23x+2.\color{black}\;-{\frac{3}{7}x}+3>{\frac{2}{3}x}+2.