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Tracer l'image d’un segment ou d'une droite par une homothétie - Exercice 4

12 min
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Question 1

Construire l’image du segment [AB][AB] ci-dessous par l'homothétie de centre OO et de rapport −1,75-1,75.

Correction
    L'image d'un segment [AB]\left[AB\right] par l'homothétie de centre OO et d'un rapport −k\color{red}-k avec (k\color{red}(k supérieur à 1)\color{red}1) est le segment [A′B′]\left[A'B'\right] tel que :
  • [AB][AB] et [A′B′][A'B'] sont parallèles.
  • Les points A,  O  ,A′A, \;O \;, A' et B,O  , B′B, O \;,\, B' sont alignés dans cet ordre.
  • La longueur OA′OA' est égale à kk fois la longueur OAOA soit : OA′=kOA{\color{red}OA'=kOA}
  • La longueur OB′OB' est égale à kk fois la longueur OBOB soit : OB′=kOB{\color{red}OB'=kOB}
    • On doit construire l’image du segment [AB][AB] ci-dessous par l'homothétie de centre OO et de rapport −1,75-1,75.
  • Le rapport −k\color{red}-k est tel que : k\color{red}k est supérieur à 1\color{red}1, avec (k=1,75)\color{red}(k=1,75). Donc dans un premier temps :
    1.\bf{1.} On trace les droites (OA)(OA) et (OB).(OB).
    2.\bf{2.} Puis comme OA′=kOA{\color{red}OA'=kOA}, et OB′=kOB{\color{red}OB'=kOB} alors :
    OA′=1,75×5OA'=1,75\times5             \;\;\;\;\;\; Avec k=1,75k=1,75       \;\;\;et      \;\;\; OA=5OA=5 cm donc : OA′=8,75  cm\boxed{OA'=8,75\; cm}
    OB′=1,75×3OB'=1,75\times3             \;\;\;\;\;\; Avec k=1,75k=1,75       \;\;\;et      \;\;\; OB=3OB=3 cm donc : OB′=5,25  cm\boxed{OB'=5,25\; cm}
    • Question 2

    Construire l’image du segment [AB][AB] ci-dessous par l'homothétie de centre OO et de rapport −3,6-3,6.

    Correction
      L'image d'un segment [AB]\left[AB\right] par l'homothétie de centre OO et d'un rapport −k\color{red}-k avec (k\color{red}(k supérieur à 1)\color{red}1) est le segment [A′B′]\left[A'B'\right] tel que :
  • [AB][AB] et [A′B′][A'B'] sont parallèles.
  • Les points A,  O  ,A′A, \;O \;, A' et B,O  , B′B, O \;,\, B' sont alignés dans cet ordre.
  • La longueur OA′OA' est égale à kk fois la longueur OAOA soit : OA′=kOA{\color{red}OA'=kOA}
  • La longueur OB′OB' est égale à kk fois la longueur OBOB soit : OB′=kOB{\color{red}OB'=kOB}
    • On doit construire l’image du segment [AB][AB] ci-dessous par l'homothétie de centre OO et de rapport −3,6-3,6.
  • Le rapport −k\color{red}-k est tel que : k\color{red}k est supérieur à 1\color{red}1, avec (k=3,6)\color{red}(k=3,6). Donc dans un premier temps :
    1.\bf{1.} On trace les droites (OA)(OA) et (OB).(OB).
    2.\bf{2.} Puis comme OA′=kOA{\color{red}OA'=kOA} et OB′=kOB{\color{red}OB'=kOB} alors :
    OA′=3,6×3OA'=3,6\times3             \;\;\;\;\;\; Avec k=3,6k=3,6       \;\;\;et      \;\;\; OA=3OA=3 cm donc : OA′=10,8  cm\boxed{OA'=10,8\; cm}
    OB′=3,6×6OB'=3,6\times6             \;\;\;\;\;\; Avec k=3,6k=3,6       \;\;\;et      \;\;\; OB=6OB=6 cm donc : OB′=21,6  cm\boxed{OB'=21,6\; cm}
    • Question 3

    Construire l’image du segment [IJ][IJ] ci-dessous par l'homothétie de centre OO et de rapport −2,1-2,1.

    Correction
      L'image d'un segment [IJ]\left[IJ\right] par l'homothétie de centre OO et d'un rapport −k\color{red}-k avec (k\color{red}(k supérieur à 1)\color{red}1) est le segment [I′J′]\left[I'J'\right] tel que :
  • [IJ][IJ] et [I′J′][I'J'] sont parallèles.
  • Les points I,  O  ,I′I, \;O \;, I' et J,O  , J′J, O \;,\, J' sont alignés dans cet ordre.
  • La longueur OI′OI' est égale à kk fois la longueur OIOI soit : OI′=kOI{\color{red}OI'=kOI}
  • La longueur OJ′OJ' est égale à kk fois la longueur OJOJ soit : OJ′=kOJ{\color{red}OJ'=kOJ}
    • On doit construire l’image du segment [IJ][IJ] ci-dessous par l'homothétie de centre OO et de rapport −2,1-2,1.
  • Le rapport −k\color{red}-k est tel que : k\color{red}k est supérieur à 1\color{red}1, avec (k=2,1)\color{red}(k=2,1). Donc dans un premier temps :
    1.\bf{1.} On trace les droites (OI)(OI) et (OJ).(OJ).
    2.\bf{2.} Puis comme OI′=kOI{\color{red}OI'=kOI} et OJ′=kOJ{\color{red}OJ'=kOJ} alors :
    OI′=2,1×4OI'=2,1\times4             \;\;\;\;\;\; Avec k=2,1k=2,1       \;\;\;et      \;\;\; OI=4OI=4 cm donc : OI′=8,4  cm\boxed{OI'=8,4\; cm}
    OJ′=2,1×5OJ'=2,1\times5             \;\;\;\;\;\; Avec k=2,1k=2,1       \;\;\;et      \;\;\; OJ=5OJ=5 cm donc : OJ′=10,5  cm\boxed{OJ'=10,5\; cm}

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