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Tracer l'image d’un segment ou d'une droite par une homothétie - Exercice 2

12 min
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Question 1

Construire l’image du segment [AB][AB] ci-dessous par l'homothétie de centre OO et de rapport 13\frac{1}{3}.

Correction
L'image d'un segment [AB][AB] par l'homothétie de centre OO et d'un rapport k\color{red}k compris entre 0\color{red}0 et 1\color{red}1 est le segment [A′B′][A'B'] tel que :
  • [AB][AB] et [A′B′][A'B'] sont parallèles.
  • Les points O,  A′  ,AO, \;A' \;, A et O,B′  , BO, B' \;,\, B sont alignés sont dans cet ordre.
  • La longueur OA′OA' est égale à kk fois la longueur OAOA soit : OA′=kOA{\color{red}OA'=kOA}
  • La longueur OB′OB' est égale à kk fois la longueur OBOB soit : OB′=kOB{\color{red}OB'=kOB}
    • On doit construire l’image du segment [AB][AB] ci-dessous par l'homothétie de centre OO et de rapport 13\frac{1}{3}.
  • Le rapport k\color{red}k est compris entre 0\color{red}0 et 1\color{red}1 avec (k=1/3)\color{red}(k=1/3). Donc dans un premier temps :
    1.\bf{1.} On trace les demi-droites [OA)[OA) et [OB)[OB).
    2.\bf{2.} Puis comme OA′=kOA{\color{red}OA'=kOA}, et OB′=kOB{\color{red}OB'=kOB} alors :
    OA′=13×3OA'=\frac{1}{3}\times3             \;\;\;\;\;\; Avec k=13k=\frac{1}{3}       \;\;\;et      \;\;\; OA=3OA=3cm donc : OA′=1  cm\boxed{OA'=1\; cm}
    OB′=13×6OB'=\frac{1}{3}\times6             \;\;\;\;\;\; Avec k=13k=\frac{1}{3}       \;\;\;et      \;\;\; OB=6OB=6 cm donc : OB′=2  cm\boxed{OB'=2\; cm}
    • Question 2

    Construire l’image du segment [AB][AB] ci-dessous par l'homothétie de centre OO et de rapport 0,70,7.

    Correction
    L'image d'un segment [AB][AB] par l'homothétie de centre OO et d'un rapport k\color{red}k compris entre 0\color{red}0 et 1\color{red}1 est le segment [A′B′][A'B'] tel que :
  • [AB][AB] et [A′B′][A'B'] sont parallèles.
  • Les points O,  A′  ,AO, \;A' \;, A et O,B′  , BO, B' \;,\, B sont alignés sont dans cet ordre.
  • La longueur OA′OA' est égale à kk fois la longueur OAOA soit : OA′=kOA{\color{red}OA'=kOA}
  • La longueur OB′OB' est égale à kk fois la longueur OBOB soit : OB′=kOB{\color{red}OB'=kOB}
    • On doit construire l’image du segment [AB][AB] ci-dessous par l'homothétie de centre OO et de rapport 0,70,7.
  • Le rapport k\color{red}k est compris entre 0\color{red}0 et 1\color{red}1 avec (k=0,7)\color{red}(k=0,7). Donc dans un premier temps :
    1.\bf{1.} On trace les demi-droites [OA)[OA) et [OB)[OB).
    2.\bf{2.} Puis comme OA′=kOA{\color{red}OA'=kOA}, et OB′=kOB{\color{red}OB'=kOB} alors :
    OA′=0,7×4,5OA'=0,7\times4,5     \;\; Avec k=0,7k=0,7       \;\;\;et      \;\;\; OA=4,5OA=4,5 cm donc : OA′=3,15  cm\boxed{OA'=3,15\; cm}
    OB′=0,7×7OB'=0,7\times7             \;\;\;\;\;\; Avec k=0,7k=0,7       \;\;\;et      \;\;\; OB=7OB=7 cm donc : OB′=4,9  cm\boxed{OB'=4,9\; cm}
    • Question 3

    Construire l’image du segment [IJ][IJ] ci-dessous par l'homothétie de centre OO et de rapport 0,20,2.

    Correction

            \;\;\;\;L'image d'un segment [IJ][IJ] par l'homothétie de centre OO et d'un rapport k\color{red}k compris entre 0\color{red}0 et 1\color{red}1 est le segment [I′J′][I'J'] tel que :
  • [IJ][IJ] et [I′J′][I'J'] sont parallèles.
  • Les points O,  J′  ,JO, \;J' \;, J et O,I′  , IO, I' \;,\, I sont alignés dans cet ordre.
  • La longueur OI′OI' est égale à kk fois la longueur OIOI soit : OI′=kOI{\color{red}OI'=kOI}
  • La longueur OJ′OJ' est égale à kk fois la longueur OJOJ soit : OJ′=kOJ{\color{red}OJ'=kOJ}

    • On doit construire l’image du segment [IJ][IJ] ci-dessous par l'homothétie de centre OO et de rapport 0,20,2.
  • Le rapport k\color{red}k est compris entre 0\color{red}0 et 1\color{red}1 avec (k=0,2)\color{red}(k=0,2). Donc dans un premier temps :
    1.\bf{1.} On trace les demi-droites [OI)[OI) et [OJ)[OJ).
    2.\bf{2.} Puis comme OI′=kOI{\color{red}OI'=kOI}, et OJ′=kOJ{\color{red}OJ'=kOJ} alors :
    OI′=0,2×10OI'=0,2\times10             \;\;\;\;\;\; Avec k=0,2k=0,2       \;\;\;et      \;\;\; OI=10OI=10 cm donc : OI′=2  cm\boxed{OI'=2\; cm}
    OJ′=0,2×12OJ'=0,2\times12             \;\;\;\;\;\; Avec k=0,2k=0,2       \;\;\;et      \;\;\; OJ=12OJ=12 cm donc : OJ′=2,4  cm\boxed{OJ'=2,4\; cm}
    OI′=2  cm\boxed{OI'=2\; cm}

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