Homothéties ( Agrandissement et réduction)

Tracer l'image d’un segment ou d'une droite par une homothétie - Exercice 1

15 min
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Question 1

Construire l’image du segment [AB][AB] ci-dessous par l'homothétie de centre OO et de rapport 22.

Correction
L'image d'un segment [AB][AB] par l'homothétie de centre OO et d'un rapport k\color{red}k supérieur à 1\color{red}1 est le segment [A′B′][A'B'] tel que :
  • [AB][AB]et [A′B′][A'B'] sont parallèles.
  • Les points O,  A  ,A′O, \;A \;, A' et O,B  , B′O, B \;,\, B' sont alignés dans cet ordre.
  • La longueur OA′OA' est égale à kk fois la longueur OAOA soit : OA′=kOA{\color{red}OA'=kOA}
  • La longueur OB′OB' est égale à kk fois la longueur OBOB soit : OB′=kOB{\color{red}OB'=kOB}
    • On doit construire l’image du segment [AB][AB] par l'homothétie de centre OO et de rapport 22.
  • Le rapport k\color{red}k est supérieur à 1\color{red}1, avec (k=2)\color{red}(k = 2). Donc dans un premier temps :
    1.\bf{1.} On trace les demi-droites [OA)[OA) et [OB)[OB).
    2.\bf{2.} Puis comme OA′=kOA{\color{red}OA'=kOA}, et OB′=kOB{\color{red}OB'=kOB} alors :
    OA′=2×2OA'=2\times2     \;\; Avec k=2k=2       \;\;\;et      \;\;\; OA=2OA=2 cm donc : OA′=4  cm\boxed{OA'=4\; cm}
    OB′=2×3OB'=2\times3     \;\; Avec k=2k=2       \;\;\;et      \;\;\; OB=3OB=3 cm donc : OB′=6  cm\boxed{OB'=6\; cm}
    • Question 2

    Construire l’image du segment [AB][AB] ci-dessous par l'homothétie de centre OO et de rapport 44.

    Correction
    L'image d'un segment [AB][AB] par l'homothétie de centre OO et d'un rapport k\color{red}k supérieur à 1\color{red}1 est le segment [A′B′][A'B'] tel que :
  • [AB][AB]et [A′B′][A'B'] sont parallèles.
  • Les points O,  A  ,A′O, \;A \;, A' et O,B  , B′O, B \;,\, B' sont alignés dans cet ordre.
  • La longueur OA′OA' est égale à kk fois la longueur OAOA soit : OA′=kOA{\color{red}OA'=kOA}
  • La longueur OB′OB' est égale à kk fois la longueur OBOB soit : OB′=kOB{\color{red}OB'=kOB}
    • On doit construire l’image du segment [AB][AB] par l'homothétie de centre OO et de rapport 44.
  • Le rapport k\color{red}k est supérieur à 1\color{red}1, avec (k=4)\color{red}(k = 4). Donc dans un premier temps :
    1.\bf{1.} On trace les demi-droites [OA)[OA) et [OB)[OB).
    2.\bf{2.} Puis comme OA′=kOA{\color{red}OA'=kOA}, et OB′=kOB{\color{red}OB'=kOB} alors :
    OA′=4×1OA'=4\times1           \;\;\;\;\; Avec k=4k=4       \;\;\;et      \;\;\; OA=1OA=1cm donc : OA′=4  cm\boxed{OA'=4\; cm}
    OB′=4×2,5OB'=4\times2,5     \;\; Avec k=4k=4       \;\;\;et      \;\;\; OB=2,5OB=2,5 cm donc : OB′=10  cm\boxed{OB'=10\; cm}
    • Question 3

    Construire l’image du segment [IJ][IJ] ci-dessous par l'homothétie de centre OO et de rapport 2,52,5.

    Correction
    L'image d'un segment [IJ][IJ] par l'homothétie de centre OO et d'un rapport k\color{red}k supérieur à 1\color{red}1 est le segment [I′J′][I'J'] tel que :
  • [IJ][IJ]et [I′J′][I'J'] sont parallèles.
  • Les points O,  J  ,J′O, \;J \;, J' et O,I  , I′O, I \;,\, I' sont alignés dans cet ordre.
  • La longueur OI′OI' est égale à kk fois la longueur OIOI soit : OI′=kOI{\color{red}OI'=kOI}
  • La longueur OJ′OJ' est égale à kk fois la longueur OJOJ soit : OJ′=kOJ{\color{red}OJ'=kOJ}
    • On doit construire l’image du segment [IJ][IJ] ci-dessous par l'homothétie de centre OO et de rapport 2,52,5.
  • Le rapport k\color{red}k est supérieur à 1\color{red}1, avec (k=2,5)\color{red}(k = 2,5). Donc dans un premier temps :
    1.\bf{1.} On trace les demi-droites [OI)[OI) et [OJ)[OJ).
    2.\bf{2.} Puis comme OI′=kOI{\color{red}OI'=kOI}, et OJ′=kOJ{\color{red}OJ'=kOJ} alors :
    OI′=2,5×1OI'=2,5\times1             \;\;\;\;\;\; Avec k=2,5k=2,5       \;\;\;et      \;\;\; OI=1OI=1 cm donc : OI′=2,5  cm\boxed{OI'=2,5\; cm}
    OJ′=2,5×2,5OJ'=2,5\times2,5     \;\; Avec k=2,5k=2,5       \;\;\;et      \;\;\; OJ=2,5OJ=2,5 cm donc : OJ′=6,25  cm\boxed{OJ'=6,25\; cm}
    • Question 4

    Construire l’image du segment [IJ][IJ] ci-dessous par l'homothétie de centre OO et de rapport 4,24,2.

    Correction
    L'image d'un segment [IJ][IJ] par l'homothétie de centre OO et d'un rapport k\color{red}k supérieur à 1\color{red}1 est le segment [I′J′][I'J'] tel que :
  • [IJ][IJ]et [I′J′][I'J'] sont parallèles.
  • Les points O,  J  ,J′O, \;J \;, J' et O,I  , I′O, I \;,\, I' sont alignés dans cet ordre.
  • La longueur OI′OI' est égale à kk fois la longueur OIOI soit : OI′=kOI{\color{red}OI'=kOI}
  • La longueur OJ′OJ' est égale à kk fois la longueur OJOJ soit : OJ′=kOJ{\color{red}OJ'=kOJ}
    • On doit construire l’image du segment [IJ][IJ] ci-dessous par l'homothétie de centre OO et de rapport 4,24,2.
  • Le rapport k\color{red}k est supérieur à 1\color{red}1, avec (k=4,2)\color{red}(k = 4,2). Donc dans un premier temps :
    1.\bf{1.} On trace les demi-droites [OI)[OI) et [OJ)[OJ).
    2.\bf{2.} Puis comme OI′=kOI{\color{red}OI'=kOI} et OJ′=kOJ{\color{red}OJ'=kOJ} alors :
    OI′=4,2×1,5OI'=4,2\times1,5             \;\;\;\;\;\; Avec k=4,2k=4,2       \;\;\;et      \;\;\; OI=1,5OI=1,5 cm donc : OI′=6,3  cm\boxed{OI'=6,3\; cm}
    OJ′=4,2×1,8OJ'=4,2\times1,8            \;\;\;\;\;\; Avec k=4,2k=4,2       \;\;\;et      \;\;\; OJ=1,8OJ=1,8 cm donc : OJ′=7,56  cm\boxed{OJ'=7,56\; cm}