Homothéties ( Agrandissement et réduction)

Sujet 1 - Exercice 1

20 min
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Olivia s’est acheté un tableau pour décorer le mur de son salon. Ce tableau, représenté ci-contre, est constitué de quatre rectangles identiques nommés 1  ,  2  ,  31\;,\;2\;,\;3 et 44 dessinés à l’intérieur d’un grand rectangle ABCDABCD d’aire égale à 1,215m2.1,215 m^2.
Le ratio longueur : largeur est égale à 3:23 : 2 pour chacun des cinq rectangles.
Question 1
Recopier, en les complétant, les phrases suivantes. Aucune justification n’est demandée.

Le rectangle       \;\;\; .........\bf\color{red}.........       \;\;\; est l’image du rectangle       \;\;\; .........\bf\color{red}.........       \;\;\; par la translation qui transforme CC en E.E.

Correction
  • Définition : Transformer une figure par translation, c’est la faire glisser sans la tourner ni la déformer. Le glissement se fait selon :
  • Une direction
  • Un sens
  • Une longueur.
Le rectangle 3\bf\color{red}3 est l’image du rectangle 4\bf\color{red}4 par la translation qui transforme CC en E.E.
Question 2

Le rectangle       \;\;\; .........\bf\color{red}.........       \;\;\; est l’image du rectangle       \;\;\; .........\bf\color{red}.........       \;\;\; par la rotation de centre FF et d’angle 90°90\degree dans le sens des aiguilles d’une montre.

Correction
  • Définition : Transformer une figure par rotation revient à la faire tourner (pivoter) autour d’un point. La figure tourne (pivote) selon :
  • Une mesure d'angle donnée.
  • Un sens direct ou indirect : (sens anti-horaire ou sens horaire.)
Le rectangle 3\bf\color{red}3 est l’image du rectangle 1\bf\color{red}1 par la rotation de centre FF et d’angle 90°90\degree dans le sens des aiguilles d’une montre.
Question 3

Le rectangle ABCDABCD est l’image du rectangle       \;\;\; .........\bf\color{red}.........       \;\;\; par l’homothétie de centre       \;\;\; .........\bf\color{red}.........       \;\;\; et de rapport 3.3.
(Il y a plusieurs réponses possibles, une seule est demandée).

Correction
Le rectangle ABCDABCD est l’image du rectangle 3\bf\color{red}3 par l’homothétie de centre B\bf\color{red}B et de rapport 3.3.
Le rectangle ABCDABCD est l’image du rectangle 4\bf\color{red}4 par l’homothétie de centre C\bf\color{red}C et de rapport 3.3.
Question 4

Quelle est l’aire d’un petit rectangle ?

Correction
À la question précédente, on a justifié que Le rectangle ABCDABCD est l’image du rectangle 4\bf\color{red}4 par l’homothétie de centre C\bf\color{red}C et de rapport 3.3.
Autrement dit, le rectangle 44 est une réduction du triangle ABCDABCD de rapport 13.\frac{1}{3}.
  • Lorsque les dimensions d’une figure sont multipliées par un nombre positif kk, nous obtenons une nouvelle figure dont l’aire est multipliée par k2.\color{red}k^2.
Par conséquent Airepetit  triangle=airetriangle  ABCD×(13)2Aire_{petit\;triangle}=aire_{triangle\;ABCD}\times{\left(\frac{1}{3}\right)^2}
D'après l'énoncé, l'aire du rectangle ABCDABCD est égale à 1,215m2.1,215 m^2. D'où :
Airepetit  triangle=1,215×(13)2Aire_{petit\;triangle}=1,215\times{\left(\frac{1}{3}\right)^2}
Airepetit  triangle=0,135Aire_{petit\;triangle}=0,135
On peut donc conclure que l'aire d'un petit rectangle est de 0,135  m2.0,135\;m^2.
Question 5

Quelles sont la longueur et la largeur du rectangle ABCD  ?ABCD\;?

Correction
  • Deux nombres sont dans le ratio 3 : 2 si on a l'égalité suivante : a3=b2\color{red}\frac{a}{3}= \frac{b}{2}
D'après l'énoncé, Le ratio longueur : largeur est égal à 3:2.3 : 2.
On a alors :: L3=l2\frac{L}{3}=\frac{l}{2}   \;⇒\color{red}\Rightarrow  \; En utilisant la règle du produit en croix, on a : 2L=3l2L=3l
Ici, on va déterminer LL en fonction de ll :
2L=3l2L=3l
2L2=3l2\frac{2L}{\color{red}2}=\frac{3l}{\color{red}2}    \;\;⇒\color{red}\Rightarrow    \;\;Ici, on divise chaque membre de l'égalité par 2.\color{red}2.
L=1,5l\boxed{L=1,5l}
On sait que l'aire du rectangle ABCDABCD est de 1,215  m2.1,215\;m^2.
Airedurectangle=L×l=1,215    Aire_{du rectangle}=L\times{l}=1,215\;\; Or L=1,5l L=1,5l, on a donc :
1,5l×l=1,2151,5l\times{l}=1,215
1,5l2=1,2151,5l^2=1,215
l2=1,2151,5l^2=\frac{1,215}{1,5}    \;\;⇒\color{red}\Rightarrow    \;\;Ici on divise chaque membre de l'égalité par 1,5.\color{red}1,5.
l2=0,81l^2=0,81
l=0,81=0,9  m\color{blue}\boxed{l=\sqrt{0,81}=0,9\;m}
Or L=1,5lL=1,5l par conséquent :
L=1,5×0,9L=1,5\times0,9
L=1,35  m\color{blue}\boxed{L=1,35\;m}