Homothéties ( Agrandissement et réduction)

Savoir construire l’image d’un point par une homothétie. - Exercice 4

8 min
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Question 1

Placer 22 points AA et OO, puis construire l’image du point AA par l’homothétie de centre OO et de rapport −5-5.

Correction
L'image d'un point AA par l'homothétie de centre OO et d'un rapport −k\color{red}-k avec (k\color{red}(k supérieur à 1)\color{red}1) est le point A′A' tel que :
  • Les points A,OA, O , et A′A' sont alignés dans cet ordre.
  • La longueur OA′OA' est égale à kk fois la longueur OAOA soit : OA′=k×OA{\color{red}OA'=k\times{OA}}
    • On doit construire l’image du point AA par l’homothétie de centre OO et de rapport −5-5.
  • Le rapport −k\color{red}-k est tel que : k\color{red}k est supérieur à 1\color{red}1, avec (k=5)\color{red}(k=5). Donc dans un premier temps :
    1.\bf{1.} On trace la droite (OA)(OA).
    2.\bf{2.} Puis comme OA′=kOA{\color{red}OA'=kOA}, alors :
    OA′=5×2OA'=5\times2             \;\;\;\;\;\; Avec k=5k=5       \;\;\;et      \;\;\; OA=2OA=2 cm
    OA′=10  cm\boxed{OA'=10\; cm}
    • Question 2

    Placer 22 points BB et OO, puis construire l’image du point BB par l’homothétie de centre OO et de rapport −3-3.

    Correction
    L'image d'un point BB par l'homothétie de centre OO et d'un rapport −k\color{red}-k avec (k\color{red}(k supérieur à 1)\color{red}1) est le point B′B' tel que :
  • Les points B,OB, O , et B′B' sont alignés dans cet ordre.
  • La longueur OB′OB' est égale à kk fois la longueur OBOB soit : OB′=k×OB{\color{red}OB'=k\times{OB}}
    • On doit construire l’image du point BB par l’homothétie de centre OO et de rapport −3-3.
  • Le rapport −k\color{red}-k est tel que : k\color{red}k est supérieur à 1\color{red}1, avec (k=3)\color{red}(k=3). Donc dans un premier temps :
    1.\bf{1.} On trace la droite (OB)(OB).
    2.\bf{2.} Puis comme OB′=kOB{\color{red}OB'=kOB}, alors :
    OB′=3×2,5OB'=3\times2,5             \;\;\;\;\;\; Avec k=3k=3       \;\;\;et      \;\;\; OB=2,5OB=2,5 cm
    OB′=7,5  cm\boxed{OB'=7,5\; cm}
    • Question 3

    Placer 22 points CC et OO, puis construire l’image du point CC par l’homothétie de centre OO et de rapport −3,5-3,5.

    Correction
    L'image d'un point CC par l'homothétie de centre OO et d'un rapport −k\color{red}-k avec (k\color{red}(k supérieur à 1)\color{red}1) est le point C′C' tel que :
  • Les points C,OC, O , et C′C' sont alignés dans cet ordre.
  • La longueur OC′OC' est égale à kk fois la longueur OCOC soit : OC′=k×OC{\color{red}OC'=k\times{OC}}
    • On doit construire l’image du point CC par l’homothétie de centre OO et de rapport −3,5-3,5.
  • Le rapport −k\color{red}-k est tel que : k\color{red}k est supérieur à 1\color{red}1, avec (k=3,5)\color{red}(k=3,5). Donc dans un premier temps :
    1.\bf{1.} On trace la droite (OC)(OC).
    2.\bf{2.} Puis comme OC′=kOC{\color{red}OC'=kOC}, alors :
    OC′=3,5×2,2OC'=3,5\times2,2             \;\;\;\;\;\; Avec k=3,5k=3,5       \;\;\;et      \;\;\; OC=2,2OC=2,2 cm
    OC′=7,7  cm\boxed{OC'=7,7\; cm}