Homothéties ( Agrandissement et réduction)

Savoir construire l’image d’un point par une homothétie. - Exercice 3

10 min
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Question 1

Placer 22 points AA et OO, puis construire l’image du point AA par l’homothétie de centre OO et de rapport −12-\frac{1}{2}.

Correction
    L'image d'un point AA par l'homothétie de centre OO et d'un rapport −k\color{red}-k ( Avec k\color{red}k compris entre 0\color{red}0 et 1\color{red}1) est le point A′A' tel que :
  • Les points A,OA, O , et A′A' sont alignés dans cet ordre.
  • La longueur OA′OA' est égale à kk fois la longueur OAOA soit : OA′=k×OA{\color{red}OA'=k\times{OA}}
On doit construire l’image du point AA par l’homothétie de centre OO et de rapport −12-\frac{1}{2}.
  • Le rapport −k\color{red}-k est tel que : k\color{red}k est compris entre 0\color{red}0 et 1\color{red}1, avec (k=1/2)\color{red}(k={1}/{2}). Donc dans un premier temps :
    1.\bf{1.} On trace la droite (OA)(OA).
    2.\bf{2.} Puis comme OA′=kOA{\color{red}OA'=kOA}, alors :
    OA′=12×2OA'=\frac{1}{2}\times2             \;\;\;\;\;\; Avec k=12k=\frac{1}{2}       \;\;\;et      \;\;\; OA=2OA=2 cm
    OA′=1  cm\boxed{OA'=1\; cm}
    • Question 2

    Placer 22 points BB et OO, puis construire l’image du point BB par l’homothétie de centre OO et de rapport −0,6-0,6.

    Correction
      L'image d'un point BB par l'homothétie de centre OO et d'un rapport −k\color{red}-k ( Avec k\color{red}k compris entre 0\color{red}0 et 1\color{red}1) est le point B′B' tel que :
    • Les points B,OB, O , et B′B' sont alignés dans cet ordre.
    • La longueur OB′OB' est égale à kk fois la longueur OBOB soit : OB′=k×OB{\color{red}OB'=k\times{OB}}
    On doit construire l’image du point BB par l’homothétie de centre OO et de rapport −0,6-0,6.
  • Le rapport −k\color{red}-k est tel que : k\color{red}k est compris entre 0\color{red}0 et 1\color{red}1, avec (k=0,6)\color{red}(k=0,6). Donc dans un premier temps :
    1.\bf{1.} On trace la droite (OB).(OB).
    2.\bf{2.} Puis comme OB′=kOB{\color{red}OB'=kOB}, alors :
    OB′=0,6×5OB'=0,6\times5             \;\;\;\;\;\; Avec k=0,6k=0,6       \;\;\;et      \;\;\; OB=5OB=5 cm
    OB′=3  cm\boxed{OB'=3\; cm}
    • Question 3

    Placer 22 points CC et OO, puis construire l’image du point CC par l’homothétie de centre OO et de rapport −34-\frac{3}{4}.

    Correction
      L'image d'un point CC par l'homothétie de centre OO et d'un rapport −k\color{red}-k ( Avec k\color{red}k compris entre 0\color{red}0 et 1\color{red}1) est le point C′C' tel que :
    • Les points C,OC, O , et C′C' sont alignés dans cet ordre.
    • La longueur OC′OC' est égale à kk fois la longueur OCOC soit : OC′=k×OC{\color{red}OC'=k\times{OC}}
    On doit construire l’image du point CC par l’homothétie de centre OO et de rapport −34-\frac{3}{4}.
  • Le rapport −k\color{red}-k est tel que : k\color{red}k est compris entre 0\color{red}0 et 1\color{red}1, avec (k=3/4)\color{red}(k={3}/{4}). Donc dans un premier temps :
    1.\bf{1.} On trace la droite (OC)(OC).
    2.\bf{2.} Puis comme OC′=kOC{\color{red}OC'=kOC}, alors :
    OC′=34×8OC'=\frac{3}{4}\times8             \;\;\;\;\;\; Avec k=34k=\frac{3}{4}       \;\;\;et      \;\;\; OC=8OC=8 cm
    OC′=6  cm\boxed{OC'=6\; cm}
    • Question 4

    Placer 22 points DD et OO, puis construire l’image du point DD par l’homothétie de centre OO et de rapport −57-\frac{5}{7}.

    Correction
    On doit construire l’image du point DD par l’homothétie de centre OO et de rapport −57-\frac{5}{7}.
  • Le rapport −k\color{red}-k est tel que : k\color{red}k est compris entre 0\color{red}0 et 1\color{red}1, avec (k=5/7)\color{red}(k={5}/{7}). Donc dans un premier temps :
    1.\bf{1.} On trace la droite (OD)(OD).
    2.\bf{2.} Puis comme OD′=kOD{\color{red}OD'=kOD}, alors :
    OD′=57×7OD'=\frac{5}{7}\times7             \;\;\;\;\;\; Avec k=57k=\frac{5}{7}       \;\;\;et      \;\;\; OD=7OD=7 cm
    OD′=5  cm\boxed{OD'=5\; cm}