Homothéties ( Agrandissement et réduction)

Savoir construire l’image d’un point par une homothétie. - Exercice 2

10 min
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Question 1

Placer 22 points AA et OO, puis construire l’image du point AA par l’homothétie de centre OO et de rapport 12\frac{1}{2}.

Correction
L'image d'un point AA par l'homothétie de centre OO et d'un rapport k\color{red}k compris entre 0\color{red}0 et 1\color{red}1 est le point A′A' tel que :
  • Le point A′A' appartient au segment [OA][OA]. Cela signifie que les points O,A′   et   AO, A' \;\,et \;\, A sont alignés dans cet ordre.
  • La longueur OA′OA' est égale à kk fois la longueur OAOA soit : OA′=k×OA{\color{red}OA'=k\times{OA}}
    • On doit construire l’image du point AA par l’homothétie de centre OO et de rapport 12\frac{1}{2}.
  • Le rapport k\color{red}k est compris entre 0\color{red}0 et 1\color{red}1 avec (k=1/2)\color{red}(k=1/2). Donc dans un premier temps :
    1.\bf{1.} On trace la demi-droite [OA)[OA), ou le segment [OA][OA].
    2.\bf{2.} Puis comme OA′=kOA{\color{red}OA'=kOA}, alors :
    OA′=12×2OA'=\frac{1}{2}\times2             \;\;\;\;\;\; Avec k=12k=\frac{1}{2}       \;\;\;et      \;\;\; OA=2OA=2 cm
    OA′=1  cm\boxed{OA'=1\; cm}
    • Question 2

    Placer 22 points BB et OO, puis construire l’image du point BB par l’homothétie de centre OO et de rapport 0,80,8.

    Correction
    L'image d'un point BB par l'homothétie de centre OO et d'un rapport k\color{red}k compris entre 0\color{red}0 et 1\color{red}1 est le point B′B' tel que :
  • Le point B′B' appartient au segment [OB][OB]. Cela signifie que les points O,B′   et   BO, B' \;\,et \;\, B sont alignés dans cet ordre.
  • La longueur OB′OB' est égale à kk fois la longueur OBOB soit : OB′=k×OB{\color{red}OB'=k\times{OB}}
    • On doit construire l’image du point BB par l’homothétie de centre OO et de rapport 0,80,8.
  • Le rapport k\color{red}k est compris entre 0\color{red}0 et 1\color{red}1 avec (k=0,8)\color{red}(k=0,8). Donc dans un premier temps :
    1.\bf{1.} On trace la demi-droite [OB)[OB), ou le segment [OB][OB].
    2.\bf{2.} Puis comme OB′=kOB{\color{red}OB'=kOB}, alors :
    OB′=0,8×5OB'=0,8\times5             \;\;\;\;\;\; Avec k=0,8k=0,8       \;\;\;et      \;\;\; OB=5OB=5 cm
    OB′=4  cm\boxed{OB'=4\; cm}
    • Question 3

    Placer 22 points CC et OO, puis construire l’image du point CC par l’homothétie de centre OO et de rapport 0,40,4.

    Correction
    L'image d'un point CC par l'homothétie de centre OO et d'un rapport k\color{red}k compris entre 0\color{red}0 et 1\color{red}1 est le point C′C' tel que :
  • Le point C′C' appartient au segment [OC][OC]. Cela signifie que les points O,C′   et   CO, C' \;\,et \;\, C sont alignés dans cet ordre.
  • La longueur OC′OC' est égale à kk fois la longueur OCOC soit : OC′=k×OC{\color{red}OC'=k\times{OC}}
    • On doit construire l’image du point CC par l’homothétie de centre OO et de rapport 0,40,4.
  • Le rapport k\color{red}k est compris entre 0\color{red}0 et 1\color{red}1 avec (k=0,4)\color{red}(k=0,4). Donc dans un premier temps :
    1.\bf{1.} On trace la demi-droite [OC)[OC), ou le segment [OC][OC].
    2.\bf{2.} Puis comme OC′=kOC\color{red}OC'=kOC, alors :
    OC′=0,4×8OC'=0,4\times8             \;\;\;\;\;\; Avec k=0,4k=0,4       \;\;\;et      \;\;\; OC=8OC=8 cm
    OC′=3,2  cm\boxed{OC'=3,2\; cm}
    • Question 4

    Placer 22 points DD et OO, puis construire l’image du point DD par l’homothétie de centre OO et de rapport 47\frac{4}{7}.

    Correction
    On doit construire l’image du point DD par l’homothétie de centre OO et de rapport 47\frac{4}{7}.
  • Le rapport k\color{red}k est compris entre 0\color{red}0 et 1\color{red}1 avec (k=4/7)\color{red}(k=4/7). Donc dans un premier temps :
    1.\bf{1.} On trace la demi-droite [OD)[OD), ou le segment [OD][OD].
    2.\bf{2.} Puis comme OD′=kOD{\color{red}OD'=kOD}, alors :
    OD′=47×7OD'=\frac{4}{7}\times7             \;\;\;\;\;\; Avec k=47k=\frac{4}{7}       \;\;\;et      \;\;\; OD=7OD=7 cm
    OD′=4  cm\boxed{OD'=4\; cm}