Exercices types homothétie: 2ème partie - Exercice 3

L'image du triangle $$ABC$$ par l'homothétie de centre $$O$$ et d'un rapport $$\color{red}k$$ négatif, ici $$\color{red}k=-2$$ est le triangle $$A'B'C'$$ tel que :

Les points $$A, \;O \;, A'$$, ainsi que les points $$B\;,O \;,\, B'$$ et $$,C \;O \;, C'$$ sont alignés dans cet ordre.

La longueur $$OA'$$ est égale à $$k$$ fois la longueur $$OA.$$

La longueur $$OB'$$ est égale à $$k$$ fois la longueur $$OB.$$

La longueur $$OC'$$ est égale à $$k$$ fois la longueur $$OC.$$

Ici, on a une homothétie de rapport $$-2$$, or une homothétie conserve les angles donc :
$$\color{blue}\boxed{\widehat{BAC}=\widehat{B'A'C'}=90\degree.}$$
On peut donc en déduire que le triangle $$A'B'C'$$ est rectangle en $$A'$$.

Ici, on a une homothétie de rapport $$k=-2$$ donc :
$$B'C'=2\times{BC}$$
Calculons $$BC$$ :
Comme le triangle $$ACB$$ est rectangle en $$A$$ avec $$AB = 4$$ cm et $$AC = 3$$ cm. On peut appliquer le théorème de Pythagore :
$$BC^{2} =AC^{2} +AB^{2}$$
donc $$BC^{2} =3^{2} +4^{2}$$
$$BC^{2} =9+16$$
$$BC^{2} =25$$. Nous allons utiliser la racine carrée pour déterminer la mesure de $$BC$$.
D'où : $$BC=\sqrt{25}$$
Ainsi :
La mesure de $$BC$$ est donc de $$5$$ cm .
Or $$B'C'=2\times{BC}$$ donc :
$$B'C'=2\times5$$
$$\color{blue}\boxed{B'C'=10\;cm}$$
On peut donc conclure que $$B'C'$$ mesure 10 cm.