Homothéties ( Agrandissement et réduction)

Exercices types homothétie: 2ème partie - Exercice 2

8 min
20
Question 1
Le pentagone régulier A′B′C′D′E′A'B'C'D'E' est l'image de ABCDEABCDE par une homothétie de centre OO et de rapport kk. Les questions sont indépendantes.

Si OA=2OA=2 et OA′=5OA'=5, quel est le rapport de l'homothétie ?

Correction
Ici le rapport de l'homothétie est égale à : k=OA′OA=52k=\frac{OA'}{OA}=\frac{5}{2} on a donc :
k=2,5\color{blue}\boxed{k=2,5}
Question 2

Si k=0,8k=0,8 et OB′=12OB'=12 cm, combien mesure OB  ?OB\;?

Correction
  • Dans le cas d'un agrandissement de rapport kk, on a :
  • La longueur d'un segment obtenu après l'agrandissement =k  ×\color{red}=k\;\times longueur du segment initiale.
Ici, on a un rapport k=0,8k=0,8, avec OB′=12  cm\color{blue}OB'=12\;cm (Qui est la longueur obtenue après l'agrandissement). Par conséquent, on a :
OB′=k×OBOB'=k\times{OB}
12=0,8×OB12=0,8\times{OB}
OB=120,8OB=\frac{12}{0,8}
OB=15  cm\color{blue}\boxed{OB=15\;cm}
On peut donc conclure que le segment [OB]\color{blue}[OB] mesure 15  cm\color{blue}15\;cm.
Question 3

Si le périmètre de ABCDEABCDE est égal à 3030 cm et k=4,k=4, quel est le périmètre de A′B′C′D′E′?A'B'C'D'E'?

Correction
  • Dans le cas d'une homothétie de centre O et de rapport kk, on a :
  • Le périmètre obtenu après l'agrandissement =k  ×\color{red}=k\;\times périmètre initiale.
Ici le périmètre de ABCDEABCDE est égal à 3030 cm.
Le rapport kk est égale à 44 donc A′B′C′D′E′A'B'C'D'E' aura un périmètre de k  ×\color{red}k\;\times périmètre initial soit : 4×30=1204\times30=120 cm.
Question 4

Si BAE^=108°\widehat{BAE}=108\degree et k=2k=2 combien mesure l'angle B′A′E′^?\widehat{B'A'E'}?

Correction
  • Une homothétie conserve la mesure des angles.
Ici on a une homothétie de rapport 22, or une homothétie conserve les angles donc :
BAE^=B′A′E′^=108°.\color{blue}\boxed{\widehat{BAE}=\widehat{B'A'E'}=108\degree.}