Homothéties ( Agrandissement et réduction)

Exercices types agrandissement et réduction : 1ère partie - Exercice 3

10 min
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Question 1
Le cône de glace est constitué :
  • d'un cône en gâteau
  • de glace à la vanille
  • d'une pointe au chocolat

    • Calculer le volume total du cône. Donner la valeur exacte.

    Correction
    • Pour calculer le volume d'un cône, on utilise la formule suivante : Volumecoˆne=aire de la base×hauteur3\color{red}\boxed{{\text{Volume}_{\text{cône}}}=\frac{\text{aire de la base}\times\text{hauteur} }{3}}
    Posons VTV_T le volume total du cône.

    VT=aire de la base×hauteur3{V_{T}=\frac{\text{aire de la base}\times\text{hauteur}}{3}}
    VT=π×r2×153{V_{T}=\frac{\pi\times{r^2}\times15}{3}}   \;Ici la hauteur du cône est égale à 11+4=15  cm11+4=15\;cm.
    VT=π×4,52×153{V_{T}=\frac{\pi\times{4,5^2}\times15}{3}}   \;Ici le rayon est égale à la moitié du diamètre soit 4,5  cm4,5\;cm.
    VT=101,3π\color{blue}\boxed{V_{T}=101,3\pi}
    Le volume totale du cône est de 101,3π  cm3\color{blue}101,3\pi\;cm^3
    Question 2

    Quel est le coefficient de réduction entre le cône de chocolat et le grand cône.

    Correction
    • Pour déterminer le coefficient de réduction kk, on applique la formule suivante : k=hauteur la plus petitehauteur la plus grande\color{red}k=\frac{\text{hauteur la plus petite}}{\text{hauteur la plus grande}}

    En appliquant la formule ci-dessus, on a :
    k=415k=\frac{4}{15}
    Le coefficient de réduction entre le cône de chocolat et le grand cône est de 415\frac{4}{15}.
    Question 3

    En déduire le volume du petit cône. (La partie en chocolat).

    Correction
    De la question précédente, on sait que Le coefficient de réduction entre le cône de chocolat et le grand cône est de 415\frac{4}{15}.
    • Dans le cas d'une réduction d'un rapport kk compris entre 0\color{red} 0 et 1\color{red}1, on a :
    • Le volume obtenu après réduction =k3  ×\color{red}=k^3\;\times volume initial.
    Le volume total du cône est de 101,3π  cm3101,3\pi\;cm^3, donc le volume du cône en chocolat noté VCV_C est :
    VC=(415)3×101,3πV_C=\left(\frac{4}{15}\right)^3\times101,3\pi
    VC≈1,921π  ≈6,03  cm3\color{blue}V_C\approx1,921\pi\;\approx6,03\;cm^3
    Le volume du cône en chocolat est de 6  cm3.\color{blue}6\;cm^3.(Arrondi à l'unité près).
    Question 4

    Quel est le volume de glace à la vanille ? Donner une valeur arrondie à l'unité.

    Correction
    Soit VGV_G le volume de glace à la vanille, on a :
    VG=VTotale−VChocolatV_G=V_{Totale}-V_{Chocolat}
    VG=101,3π−6V_G=101,3\pi-6
    VG≈312,2cm3\color{blue}\boxed{V_G\approx312,2cm^3}
    Le volume de glace est d'environ 312  cm3.\color{blue}312\;cm^3. (Arrondi à l'unité près.)