Homothéties ( Agrandissement et réduction)

Exercices types agrandissement et réduction : 1ère partie - Exercice 1

10 min
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Question 1
Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

Une homothétie de rapport k=12k=\frac{1}{2} correspond à un agrandissement.

Correction
Considérons l’homothétie d'une figure de centre OO et de rapport kk quelconque , si :
  • 0<k<1\bf{\color{red}0<k<1} alors on a une réduction de la figure initiale.
  • Ici le rapport k=12k=\frac{1}{2} est compris entre 00 et 11, donc on a une réduction.
    L'affirmation est donc fausse.
    Question 2

    Dans une homothétie de rapport k=3k=3, les aires sont multipliées par 66.

    Correction
    • Lorsque les dimensions d’une figure sont multipliées par un nombre positif kk, nous obtenons une nouvelle figure dont l’aire est multipliée par k2.\color{red}k^2.
    Ici le rapport kk est égale à 33, donc l'aire est multiplié par k2k^2 soit : 32=9.3^2=9.
    L'aire doit être multiplié par 99, donc l'affirmation est fausse.
    Question 3

    Une homothétie de rapport 1-1 correspond à une symétrie centrale.

    Correction
    Considérons l’homothétie d'une figure de centre OO et de rapport kk quelconque , si :
  • k=1\color{red}k=-1 alors on a une symétrie centrale de centre O\color{red}O.
  • Donc l'affirmation est vraie.
    Question 4

    Si un rectangle a un périmètre de 1010 cm alors son image par une homothétie de rapport k=3,5k=3,5 aura pour périmètre 3535 cm.

    Correction
    • Dans le cas d'une homothétie de centre O et de rapport kk, on a :
    • Le périmètre obtenue après l'agrandissement =k  ×\color{red}=k\;\times périmètre initiale.
    Ici le périmètre du rectangle est de 1010 cm.
    Le rapport kk est égale à 3,53,5 donc l'image du rectangle aura un périmètre de k  ×\color{red}k\;\times périmètre initiale soit : 10×3,5=3510\times3,5=35 cm.
    L'affirmation est donc vraie.
    Question 5

    Si un rectangle a pour aire de 6  cm26\;cm^2 alors son image par une homothétie de rapport 22 aura pour aire 12  cm212\;cm^2.

    Correction
    • Dans le cas d'une homothétie de centre O et de rapport kk, on a :
    • L'aire obtenue après l'agrandissement ou la réduction =k2  ×\color{red}=k^2\;\times aire initiale.
    Ici l'aire du rectangle est de 6  cm26\;cm^2 .
    Le rapport kk est égale à 22 donc l'image du rectangle aura une aire de k2  ×\color{red}k^2\;\times aire initiale soit : 22×6=24  cm2.2^2\times6=24\;cm^2.
    L'affirmation est donc fausse.
    Question 6

    Dans une homothétie de rapport 2-2, il faut multiplier toute les longueurs par 2.-2.

    Correction
    Ici le rapport k=2k=-2 est négatif, donc on a une réduction de la figure initiale.
    • Dans le cas d'une homothétie de centre O et de rapport kk, on a :
    • La longueur obtenue après la réduction =k  ×\color{red}=-k\;\times longueur sur la figure initiale.
    Ici le rapport kk est égale à 2-2 donc on doit multiplier les longueurs par k-k soit 2\color{blue}2.
    Donc l'affirmation est fausse. (De plus en multipliant par 2-2 cela nous donnerais des valeurs négatives, cela n'est pas possible.)