Homothéties ( Agrandissement et réduction)

Agrandissement et réduction - Exercice 3

4 min
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Question 1
I′J′K′I'J'K' est l’image du triangle IJKIJK par l’homothétie de centre OO et d'un rapport kk non précisé ici.

Le rapport kk est-il positif ou négatif ? Justifier votre réponse.

Correction
Considérons l’homothétie d'une figure de centre O et de rapport k quelconque, si :
  • 0<k<1\bf{\color{red}0<k<1} alors, on a une réduction de la figure initiale.
    De plus, la figure obtenue et la figure initiale sont du même côté par rapport au centre O.
  • −1<k<0\bf{\color{red}-1<k<0} alors, on a une réduction de la figure initiale.
    De plus, la figure obtenue et la figure initiale sont de part et d'autre du centre O.
  • k>1\bf{\color{red}k>1} alors, on a un agrandissement de la figure initiale.
    De plus, la figure obtenue et la figure initiale sont du même côté par rapport au centre O.
  • k<−1\bf{\color{red}k<-1} alors on a un agrandissement de la figure initiale, et la figure effectue un demi tour.
    De plus la figure obtenue et la figure initiale sont de part et d'autre du centre O.
    • Sur notre figure, on constate que I′J′K′I'J'K' est un agrandissement de la figure initiale IJKIJK.
    Donc dans un premier temps, on peut en déduire que le rapport kk est soit supérieur à 11 ou inférieur à −1-1.
    On constate également que les triangles IJKIJK et I′J′K′I'J'K' sont du même côté par rapport au point OO.
    On peut donc conclure que le rapport k\color{red}k est supérieur à 1\color{red}1, (donc k\color{red}k est positif.)