Sujet 3 - Géométrie dans l'espace et sections - 3ème

Question 1

Montrer que $FJ = 4\;m.$

Correction

EFGH

est un rectangle.
Or un triangle à ses côtés opposés de la même longueur, donc $HG=EF=6\;m$ .
Or

FJ = EJ - EF

avec

EJ=10\;m.

\boxed{FJ=10−6=4\;m}.

Question 2

Afin de pouvoir couler le béton, M. et Mme Martin doivent délimiter la terrasse en installant des planches tout autour. Quelle longueur de planches doivent-ils acheter au minimum ?

Correction

Ici, il nous faut calculer le périmètre de la terrasse.

Périmètre_{de\;la\;terasse}=EF + FJ + JG + GH + HE

Nous connaissons toutes les longueurs, hormis $JG.$
Comme le triangle $GFJ$ est rectangle en $F$ avec $GF= 3$ m et $FJ = 4$ m.

On peut appliquer le théorème de Pythagore :

$JG^{2} =GF^{2} +FJ^{2}$

donc :
$JG^{2} =3^{2} +4^{2}$
$JG^{2} =9+16$
$JG^{2} =25$

Nous allons utiliser la racine carrée pour déterminer la mesure de $JG$ .

D'où :
$JG=\sqrt{25}$

Ainsi :
$JG=5$ m

La mesure de $JG$ est donc de $5$ m.
$Périmètre_{de\;la\;terasse}=EF + FJ + JG + GH + HE$
$Périmètre_{de\;la\;terasse}=6+4+5+6+3$
$Périmètre_{de\;la\;terasse}=24$ m
Ils devront donc acheter $24$ m de planches.

Question 3

M. et Mme Martin souhaitent réaliser $4\;m^3$ de béton.

Montrer que le volume de la terrasse est bien inférieur à $4\;m^3.$
.

Correction

Ici, on doit calculer le volume de la terrasse (qui est un prisme).
$volume_{prisme}=Aire\;de\;la\;base\times{hauteur}$
La base de la terrasse est composée d'un triangle et d'un rectangle.
$Aire\;du\;rectangle=longueur\times{largeur}=3\times6=18\;m^2$
$Aire\;du\;triangle=\frac{base\times{hauteur}}{2}=\frac{FJ\times{GF}}{2}$
$Aire\;du\;triangle=\frac{4\times{3}}{2}=6m^2$
L'aire de la base du prisme est égale à la somme de l'aire du rectangle et de l'aire du triangle soit : $\color{blue}18+6=24\;m^2$ .
La hauteur du prisme est de $15\;cm$ soit $0,15$ m.
$volume_{prisme}=Aire\;de\;la\;base\times{hauteur}=24\times0,15$
$\boxed{volume_{prisme}=3,6\;m^3}$
$3,6<4,$ Le volume de la térasse est donc bien inférieur à $4\;m^3$ .

Question 4

Sachant que pour faire $1\;m^3$ de béton, il faut $250\;kg$ de ciment, quelle masse de ciment $($ en $kg)$ doivent-ils acheter pour réaliser $4\;m^3$ de béton $?$

Correction

Ici, on sait que pour $1\;m^3$ de béton, on a besoin de $250$ kg de ciment.
Donc pour réaliser $4\;m^3$ de béton, ils auront besoin de : $4\times250=1\;000\;kg$ de ciments.

Question 5

Pour faire du béton, on ajoute de l’eau à un mélange de ciment, de gravier et de sable.

Dans ce mélange, les masses de ciment $-$ gravier $-$ sable sont dans le ratio $2 : 7 : 5.$
Déterminer $($ en $kg),$ la masse de gravier et la masse de sable nécessaires pour réaliser les $4m^3$ de béton.

Correction

Dans ce mélange, les masses de ciment $-$ gravier $-$ sable sont dans le ratio $2 : 7 : 5$ .
Par proportionalité on peut aussi dire que le ratio $2 : 7 : 5$ peut sécrire $1:3,5:2,5$ . Ici, on divise chaque valeur par $2$ .
C'est-à-dire :
Que la masse de ciment représente $1\;000\;kg$ .
Dans le mélange, il y aura $\color{blue}1\;000\;kg$ de ciment.
La proportion de gravier est $3,5$ fois plus importante soit : $3,5\times\;1\;000=3\;500\;kg$
Dans le mélange, il y aura $\color{blue}3\;500\;kg$ de gravier.
La proportion de sable est $2,5$ fois plus importante soit : $2,5\times\;1\;000=2\;500\;kg$
Dans le mélange, il y aura $\color{blue}2\;500\;kg$ de sable.

Question 6

M. et Mme Martin souhaitent peindre la surface supérieure de leur terrasse.

À l’aide des documents $1,2$ et $3,$ déterminer le type et le nombre de pots nécessaires pour effectuer ces travaux avec un coût minimum.

Correction

À la question $3.a$ , on sait que la surface de la terrasse est de $24\;m^3$ .
À l'aide du document $3$ ci-dessus, on précise que l'on a besoin de mettre $2$ couches de peintures.
Au total, cela correspond à une surface à peindre de $24\times2=48\;m^2$ .
On sait que $1$ litre de peinture permet de réaliser une couche de $5m^2.$

Ici, on a une situation de proportionnalité, $x=\frac{1\times48}{5}=9,61$ litres.
On aura donc besoin de $10$ litres de peinture.
D'après le document $1$ :
On sait qu'en utilisant le pot $B$ d'une contenance de $10$ litres, le prix à payer sera de $129,90$ euros.
Concernant le pot $A$ , il nous faudra $2$ pots dont le deuxième sera à $50\;\%$ d'après le document $2$ .
Le prix à payer sera donc de $79,90+\frac{79,90}{2}=119,85$ euros.
Il sera donc plus avantageux d'acheter deux pots $A$ pour avoir un coût minimum.

Sujet 3 - Exercice 1

Montrer que FJ=4 m.FJ = 4\;m.FJ=4m.

Afin de pouvoir couler le béton, M. et Mme Martin doivent délimiter la terrasse en installant des planches tout autour. Quelle longueur de planches doivent-ils acheter au minimum ?

Montrer que le volume de la terrasse est bien inférieur à 4 m3.4\;m^3.4m3..

Sachant que pour faire 1 m31\;m^31m3 de béton, il faut 250 kg250\;kg250kg de ciment, quelle masse de ciment (((en kg)kg)kg) doivent-ils acheter pour réaliser 4 m34\;m^34m3 de béton ???

Dans ce mélange, les masses de ciment −-− gravier −-− sable sont dans le ratio 2:7:5.2 : 7 : 5.2:7:5.Déterminer (((en kg),kg),kg), la masse de gravier et la masse de sable nécessaires pour réaliser les 4m34m^34m3 de béton.

À l’aide des documents 1,21,21,2 et 3,3,3, déterminer le type et le nombre de pots nécessaires pour effectuer ces travaux avec un coût minimum.

Montrer que $FJ = 4\;m.$

Montrer que le volume de la terrasse est bien inférieur à $4\;m^3.$
.

Sachant que pour faire $1\;m^3$ de béton, il faut $250\;kg$ de ciment, quelle masse de ciment $($ en $kg)$ doivent-ils acheter pour réaliser $4\;m^3$ de béton $?$

Dans ce mélange, les masses de ciment $-$ gravier $-$ sable sont dans le ratio $2 : 7 : 5.$
Déterminer $($ en $kg),$ la masse de gravier et la masse de sable nécessaires pour réaliser les $4m^3$ de béton.

À l’aide des documents $1,2$ et $3,$ déterminer le type et le nombre de pots nécessaires pour effectuer ces travaux avec un coût minimum.