Géométrie dans l'espace et sections

Sujet 2 - Exercice 3

15 min
25
Question 1
On considère une bougie conique représentée ci-dessous.
(la figure n’est pas aux dimensions réelles).
Le rayon OAOA de sa base est 2,5  cm2,5\;cm.
La longueur du segment [SA][SA] est 6,5  cm.6,5\;cm.

Sans justifier, donner la nature du triangle SAOSAO et le construire en vraie grandeur.

Correction
Le triangle SAOSAO est rectangle en OO.
Question 2

Montrer que la hauteur SOSO de la bougie est 6  cm.6\;cm.

Correction
Comme le triangle SAOSAO est rectangle en OO avec SA=6,5SA = 6,5 cm et OA=2,5OA = 2,5 cm . On peut appliquer le théorème de Pythagore :
SA2=OA2+SO2SA^{2} =OA^{2} +SO^{2}
  • (Le coˆteˊ que l’on recherche\text{Le côté que l'on recherche})2^{2} == (l’hypoteˊnuse\text{l'hypoténuse})2^{2} −- (le coteˊ que l’on connait\text{le coté que l'on connait} )2^{2} .
On a alors :
SO2=SA2−OA2SO^{2} =SA^{2} -OA^{2}
SO2=6,52−2,52SO^{2} =6,5^{2} -2,5^{2}
SO2=42,25−6,25SO^{2} =42,25-6,25
SO2=36SO^{2} =36 . Nous allons utiliser la racine carrée pour déterminer la mesure de SOSO.
D'où : SO=36SO=\sqrt{36}
Ainsi :
SO=6SO=6 cm

La mesure de SOSO est donc de 6  cm.6\;cm.
Question 3

Calculer le volume de cire nécessaire à la fabrication de cette bougie, on donnera la valeur arrondie au dixième de cm3cm^3 ?

Correction
On rappelle la formule suivante :
  • Volume  du  co^ne=13π×rayon2×hauteur\color{red}Volume\;du\;cône=\frac{1}{3}\pi\times{rayon^2}\times{hauteur}
    Ici le cône à une hauteur de 6  cm6\;cm et un rayon de 2,5  m.2,5\;m.
    Volume  du  co^ne=13π×2,52×6Volume\;du\;cône=\frac{1}{3}\pi\times{2,5^2}\times{6}
    Volume  du  co^ne=252×π  cm3\boxed{Volume\;du\;cône=\frac{25}{2}\times{\pi}\;cm^3}       \;\;\;⟹\color{red}\Longrightarrow      \;\;\;(Valeur exacte)
    Volume  du  co^ne≈39,27  cm3Volume\;du\;cône\approx39,27\;cm^3       \;\;\;⟹\color{red}\Longrightarrow      \;\;\;(Valeur approchée)
    On peut donc conclure que le volume du cône est de   39,3  cm3  .\color{blue}\;39,3\;cm^3\;. (arrondi au dixième près).
    • Question 4

    Calculer l’angle ASO^\widehat{ASO} ; on donnera la valeur arrondie au degré.

    Correction
    Le triangle ASOASO est rectangle en OO. Nous connaissons :
  • Le côté opposé à l'angle S^\widehat{S} dont la mesure est OA=2,5OA=2,5 cm .
  • L'hypoténuse SA=6,5SA=6,5 cm .
  • Nous recherchons l'angle S^\widehat{S} .
    • Nous allons donc utiliser le le sinus.
    sin⁡(ASO^)=coteˊ opposeˊ aˋ l’angle S^hypoteˊnuse\sin\left(\widehat{ASO}\right)=\frac{\text{coté opposé à l'angle }\widehat{S}}{\text{hypoténuse}}
    sin⁡(ASO^)=OASA\sin\left(\widehat{ASO}\right)=\frac{OA}{SA}
    sin⁡(ASO^)=2,56,5\sin\left(\widehat{ASO}\right)=\frac{2,5}{6,5}
    ASO^=sin⁡−1(2,56,5)\widehat{ASO}=\sin^{-1}\left(\frac{2,5}{6,5}\right) ou encore ASO^=arcsin(2,56,5)\widehat{ASO}=\text{arcsin}\left(\frac{2,5}{6,5}\right)
    • Il faut vérifier que votre calculatrice est bien en mode degré, et n'oubliez pas de mettre les parenthèses.
    Ainsi :
    ASO^≈22,61∘\widehat{ASO}\approx22,61{}^\circ

    La mesure de l'angle ASO^\widehat{ASO} est de 23∘23{}^\circ (arrondi au degré près).