Sujet 2 - Exercice 2

$$\color{red}\underline{1°)\;Méthode\;1:}$$
Ici d'après l'énoncé, l'autre boule pour le corps a un rayon $$2$$ fois plus grand que la tête.
Par conséquent la boule pour le corps à un rayon $$\;\;$$ $$\color{red}\Longrightarrow$$$$\;\;$$ $$\color{blue}2\times3= 6\;cm.$$

$$\color{red}Volume\;d'une\;boule=\frac{4}{3}\pi\times{rayon^3}$$
Ici la boule pour la tête a un rayon de $$6\;cm.$$ Par conséquent :
$$Volume\;boule\;du\;corps=\frac{4}{3}\pi\times{6^3}$$
$$\boxed{Volume\;boule\;du\;corps=288\pi\;cm^3}$$
$$\color{red}\underline{1°)\;Méthode\;2:}$$

• Dans un agrandissement de rapport $$k$$, le volume d’un solide est multiplié par $$k^3$$

Ici, d'après l'énoncé, l'autre boule pour le corps a un rayon $$2$$ fois plus grand que la tête.
Donc l'agrandissement est $$\color{red}k=2$$, par conséquent le volume $$\color{red}\;est\;multipliée\;par\;2^3\;soit\;par\;8.$$
$$Volume\;boule\;de\;la\;tête=36\pi\;cm^3$$
$$Volume\;boule\;du\;corps=36\pi\times8$$
$$\boxed{Volume\;boule\;du\;corps=288\pi\;cm^3}$$

Lorsque Marc coupe la boule représentant la tête par un plan, il obtient un disque de rayon $$AB$$ que l'on peut schématiser ci-dessous.Comme le triangle $$AOB$$ est rectangle en $$A$$ avec $$AO = 2$$ cm et $$OB = 3$$ cm. On peut appliquer le théorème de Pythagore :
$$OB^{2} =AO^{2} +AB^{2}$$
On a alors :
$$AB^{2} =OB^{2} -AO^{2}$$
$$AB^{2} =3^{2} -2^{2}$$
$$AB^{2} =9-4$$
$$AB^{2} =5$$ . Nous allons utiliser la racine carrée pour déterminer la mesure de $$AB$$.
D'où : $$AB=\sqrt{5}$$
La mesure de $$AB$$ est donc de $$\sqrt{5}$$ cm .

$$\color{red}Aire\;du\;disque=\pi\times{rayon^2}$$
$$Aire\;du\;disque=\pi\times\left(\sqrt{5}\right)^2$$
$$\boxed{Aire\;du\;disque=5\pi\;cm^2}$$ $$\;\;\;$$$$\color{red}\Longrightarrow$$$$\;\;\;$$(Valeur exacte)
$$\boxed{Aire\;du\;disque\approx 15,7\;cm^2}$$$$\;\;\;$$$$\color{red}\Longrightarrow$$$$\;\;\;$$(Valeur approchée)