Géométrie dans l'espace et sections

Sujet 2 - Exercice 1

12 min
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Samia vit dans un appartement dont la surface au sol est de 35  m2.35\;m^2.
Elle le compare avec une yourte, l’habitat traditionnel mongol.
On modélise cette yourte par un cylindre et un cône.
Question 1
On rappelle les formules suivantes :\color{black}\underline{\text{On rappelle les formules suivantes :}}
  • Aire  du  disque=π×rayon2\color{red}Aire\;du\;disque=\pi\times{rayon^2}
  • Volume  du  cylindre=π×rayon2×hauteur\color{red}Volume\;du\;cylindre=\pi\times{rayon^2}\times{hauteur}
  • Volume  du  co^ne=13π×rayon2×hauteur\color{red}Volume\;du\;cône=\frac{1}{3}\pi\times{rayon^2}\times{hauteur}
  • Montrer que l’appartement de Samia offre une plus petite surface au sol que celle de la yourte.

    Correction
    La surface au sol de la yourte, est un cercle de diamètre 7  m.7\;m.
    Or : Aire  du  disque=π×rayon2\color{red}Aire\;du\;disque=\pi\times{rayon^2}
    Diameˋtre=7  mDiamètre=7\;m   \; \color{red}\Rightarrow   \; Rayon=diameˋtre2=3,5  mRayon=\frac{diamètre}{2}=3,5\;m
    Aire  du  disque=π×3,52Aire\;du\;disque=\pi\times3,5^2
    Aire  du  disque38,48  m2\boxed{Aire\;du\;disque\approx38,48\;m^2}
    La surface au sol de la yourte est donc bien supérieur à la surface de l'appartement de Samia.
    Question 2

    Calculer le volume de la yourte en m3.m^3.

    Correction
    La yourte est composée d'un cylindre et d'un cône.
    1°) Calculons dans un premier temps le volume du cylindre :
  • Volume  du  cylindre=π×rayon2×hauteur\color{red}Volume\;du\;cylindre=\pi\times{rayon^2}\times{hauteur}
    Ici le cylindre à une hauteur de 2,5  m2,5\;m et un rayon de 3,5  m.3,5\;m.
    Volume  du  cylindre=π×3,52×2,5Volume\;du\;cylindre=\pi\times3,5^2\times2,5
    Volume  du  cylindre=30,625×π  m3\boxed{Volume\;du\;cylindre=30,625\times{\pi}\;m^3}   \;\color{red}\Rightarrow  \;(Valeur exacte)
    2°) Calculons dans un second temps le volume du cône :
  • Volume  du  co^ne=13π×rayon2×hauteur\color{red}Volume\;du\;cône=\frac{1}{3}\pi\times{rayon^2}\times{hauteur}
    Ici le cône à une hauteur de 4,52,5  =2  m4,5-2,5\;=2\;m et un rayon de 3,5  m.3,5\;m.
    Volume  du  co^ne=13π×3,52×2Volume\;du\;cône=\frac{1}{3}\pi\times{3,5^2}\times{2}
    Volume  du  co^ne=496×π  m3\boxed{Volume\;du\;cône=\frac{49}{6}\times{\pi}\;m^3}   \;\color{red}\Rightarrow  \;(Valeur exacte)
    Volume  du  co^ne25,65  m3Volume\;du\;cône\approx25,65\;m^3   \;\color{red}\Rightarrow  \;(Valeur approchée)
    Volume de la yourte = volume du cylindre + volume du cône.
    Volume  de  la  yourte=30,625π+496πVolume\;de\;la\;yourte=30,625\pi+\frac{49}{6}\pi
    Volume  de  la  yourte121,86  m3\boxed{Volume\;de\;la\;yourte\approx121,86\;m^3}


  • Question 3
    Sarnia réalise une maquette de cette yourte à l’échelle 125.\frac{1}{25} .

    Quelle est la hauteur de la maquette ?

    Correction
    Une échelle de 125,\frac{1}{25}, signifie que les dimensions sont toutes divisées par 25.25.
    La hauteur totale de la yourte est de 4,5  m.4,5\;m.
    Par conséquent, la hauteur totale de la yourte sur la maquette est   \; \color{red}\Rightarrow   \; 4,525=0,18  m\frac{4,5}{25}=0,18\;m
    La hauteur totale de la maquette est de 0,18 m soit 18 cm.