Métropole 30 juin 2026 - Exercice 1

7 min 30
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On souhaite fabriquer avec une imprimante 3D des boules pleines en plastique, de rayon 2,52{,}5 cm.
Question 1

Montrer que le volume d'une boule, arrondi à l'unité, est égal à 65 cm365\ \text{cm}^{3}.
On rappelle que le volume VV d'une boule de rayon RR est donné par la formule : V=43×π×R3V=\dfrac{4}{3}\times\pi\times R^{3}.

Correction
V=43×π×2,53V=\dfrac{4}{3}\times\pi\times 2{,}5^{3}
V=43×π×15,625V=\dfrac{4}{3}\times\pi\times 15{,}625
V≈65,45 cm3V\approx 65{,}45\ \text{cm}^{3}
V≈65 cm3V\approx 65\ \text{cm}^{3} (arrondi à l'unité)
Question 2

Pour utiliser cette imprimante, on dispose d'une bobine de 1 000 cm31\,000\ \text{cm}^{3} de plastique.
Combien de boules peut-on fabriquer au maximum ?

Correction
1 00065,45≈15,3\dfrac{1\,000}{65{,}45}\approx 15{,}3
On ne peut fabriquer que des boules entières : 1515 boules utilisent 15×65,45≈982 cm315\times 65{,}45\approx 982\ \text{cm}^{3}, mais 1616 boules demanderaient 16×65,45≈1 047 cm3>1 000 cm316\times 65{,}45\approx 1\,047\ \text{cm}^{3}\gt 1\,000\ \text{cm}^{3}.
On peut fabriquer au maximum 1515 boules.
Question 3

Sachant que la masse volumique de ce plastique est égale à 0,9 g/cm30{,}9\ \text{g/cm}^{3}, calculer la masse d'une boule.

Correction
  • Une masse volumique de 0,9 g/cm30{,}9\ \text{g/cm}^{3} signifie que 1 cm31\ \text{cm}^{3} de plastique a une masse de 0,90{,}9 g.
m=0,9×65m=0{,}9\times 65
m=58,5m=58{,}5 g
Une boule a une masse d'environ 58,558{,}5 g.

Avec la valeur plus précise 65,45 cm365{,}45\ \text{cm}^{3}, on trouve 0,9×65,45≈58,90{,}9\times 65{,}45\approx 58{,}9 g, soit environ 5959 g.

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