Géométrie dans l'espace et sections

Exercices types : 2ème partie - Exercice 1

10 min
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Question 1
Arthur dispose de 33 boules de métal de rayons respectifs 66 cm, 88 cm, et 1010 cm.
Il décide de fondre les 33 boules pour réaliser une seule grande boule.

Trouver le rayon de cette nouvelle boule. ( Donner le résultat arrondi au dixième près).

Correction
Ici dans un premier temps il nous faut calculer le volume des 33 boules de métal.
  • Pour calculer le volume d'une boule, on utilise la formule suivante : Volumeboule=43×π×R3\boxed{\text{Volume}_{\text{boule}}=\frac{4}{3}\times\pi\times R^3}
volumetotal=V1+V2+V3\text{volume}_\text{total}=V_1+V_2+V_3 avec :
  • V1V_1 le volume de la boule de rayon de 66 cm.
  • V2V_2 le volume de la boule de rayon de 88 cm.
  • V3V_3 le volume de la boule de rayon de 1010 cm.
    volumetotal=43×π×63+43×π×83+43×π×103\text{volume}_\text{total}=\frac{4}{3}\times\pi\times 6^3+\frac{4}{3}\times\pi\times 8^3+\frac{4}{3}\times\pi\times 10^3
    volumetotal=43×π(63+83+103)\text{volume}_\text{total}=\frac{4}{3}\times\pi\left(6^3+8^3+10^3\right)
    volumetotal=43×π×1240\color{blue}\boxed{\text{volume}_\text{total}=\frac{4}{3}\times\pi\times1240}
    On sait que le volume de la nouvelle boule s'exprime ainsi :
    Volumeboule=43×π×R3\text{Volume}_{\text{boule}}=\frac{4}{3}\times\pi\times R^3
    Le volume totale des 33 boules est le même que le volume de la nouvelle boule, on en déduit donc :
    43×π×1240=43×π×R3\frac{4}{3}\times\pi\times{1240}=\frac{4}{3}\times\pi\times R^3
    R3=1240R^3=1240
    A l'aide de la calculatrice on teste avec différente de RR, on obtient :
    10,73=1225,04310,7^3=1225,043
    10,83=1259,71210,8^3=1259,712
    Donc 10,7310,7^3 est plus proche de 12401240.
    Remarque : Pour trouver R3=1240R^3=1240, on peut utiliser la touche 3 \sqrt[3]{ } de la calculatrice. Elle donne la racine cubique d'un nombre.
    En utilisant la touche de la calculatrice on a : 12403≈10,74 \sqrt[3]{1240 }\approx10,74
    On en déduit donc que le rayon de la nouvelle boule est de 10,7  cm\color{blue}10,7\;cm. ( Arrondi au dixième près).