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Exercices types : 1ère partie - Exercice 2

12 min

Question 1

Un réservoir de glace de forme cylindrique a un diamètre de

12

cm et une hauteur de

15

cm.
Une glace est composée d'un cône de hauteur de

12

cm superposée d'une demi-boule de diamètre

6

cm.

Calculer le volume du réservoir. (Donner la valeur exacte).

Correction

Le réservoir est de forme cylindrique.

Pour calculer le volume d'un cylindre, on utilise la formule suivante : $\color{red}\boxed{{\text{Volume}_{\text{cylindre}}}=\text{aire de la base}\times\text{hauteur} }$

{\text{Volume}}_{\text{réservoir}}=\pi\times{6^2}\times15

\;

\color{red}\Rightarrow

\;

la base est un cercle d'aire $\pi\times{r^2}$ et de hauteur $15$ cm.

{\text{Volume}}_{\text{réservoir}}=540\pi\;cm^3

On peut donc en déduire que le volume du réservoir est de $\color{blue}500\pi\;cm^3$ .

Question 2

Calculer le volume d'une glace.

Correction

Calculons le volume de la glace :

{\text{Volume}}_{\text{glace}}=V_B+V_C

V_B

est le volume de la demi boule, et

V_C

le volume d'un cône.

Pour calculer le volume d'une boule, on utilise la formule suivante : $\boxed{\text{Volume}_{\text{boule}}=\frac{4}{3}\times\pi\times R^3}$

1°) Calculons le volume de la demi boule de glace :

V_B=V_{demi-{boule}}=\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}\times\pi\times R^3

V_B=\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}\times\pi\times 3^3

\;

\color{red}\Rightarrow

\;

avec le rayon qui est égal à la moitié du diamètre de la boule.
$V_B=18\pi\;cm^3$

2°) Calculons le volume du cône :
Pour calculer le volume d'un cône, on utilise la formule suivante : $\boxed{\text{Volume}_{\text{cône}}=\frac{\text{aire de la base}\times\text{hauteur}}{3}}$
$\text{Volume}_{\text{cône}}=\frac{\text{aire de la base}\times\text{hauteur}}{3}$ $\;$ $\color{red}\Rightarrow$ $\;$ la base est un cercle d'aire $\pi\times{r^2}$ et de hauteur $12$ cm.

$\text{Volume}_{\text{cône}}=\frac{\pi\times{3^2}\times12}{3}$ $\;$ $\color{red}\Rightarrow$ $\;$ avec le rayon qui est égal à $3$ cm.
$\text{Volume}_{\text{cône}}=36\pi\;cm^3$
${\text{Volume}}_{\text{glace}}=V_B+V_C$
$\color{blue}\boxed{{\text{Volume}}_{\text{glace}}=18\pi+36\pi=54\pi\;cm^3}$
Remarque : On préfère travailler avec les valeurs exactes (en gardant les $\pi$ ) pour plus de précision.

Question 3

Combien de glaces peut-on fabriquer avec un tel réservoir ?

Correction

Pour connaître le nombre de glaces que l'on peut réaliser, il faut calculer : $\frac{V_\text{réservoir}}{V_\text{glace}}$
$\frac{V_\text{réservoir}}{V_\text{glace}}=\frac{540\pi}{54\pi}$
$\color{blue}\boxed{\frac{V_\text{réservoir}}{V_\text{glace}}=10}$
On peut donc conclure qu'avec ce réservoir on peut fabriquer $\color{blue}10$ glaces.

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