Centres étrangers 18 juin 2026 - Exercice 1

10 min
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Une confiserie fabrique des bonbons multicolores au goût réglisse. Ces bonbons de longueur totale 1515 mm ont la forme de gélules constituées de trois parties : un cylindre et deux demi-boules identiques de rayon R=2,5R=2{,}5 mm comme le montre le schéma ci-dessous.
Rappels :
  • Volume d'un cylindre de rayon RR et de hauteur hh : V=π×R2×hV=\pi\times R^{2}\times h
  • Volume d'une boule de rayon RR : V=43×π×R3V=\dfrac{4}{3}\times\pi\times R^{3}
  • 1 L=1 dm31\text{ L}=1\text{ dm}^{3}
    • Question 1

    Montrer que la hauteur hh du cylindre est égale à 1010 mm.

    Correction
    La longueur totale de 1515 mm est formée de la hauteur hh du cylindre et des deux demi-boules, qui dépassent chacune d'un rayon R=2,5R=2{,}5 mm :
    h=15−2×2,5h=15-2\times 2{,}5
    h=15−5h=15-5
    h=10h=10 mm
    Question 2

    Montrer que le volume de la partie cylindrique d'un bonbon est environ égal à 196 mm3196\ \text{mm}^{3}.

    Correction
    • Volume d’un cylindre=π×R2×h\color{red}\text{Volume d'un cylindre}=\pi\times R^{2}\times h
    • Volume d’une boule=43×π×R3\color{red}\text{Volume d'une boule}=\dfrac{4}{3}\times\pi\times R^{3}
    Vcylindre=π×2,52×10V_{\text{cylindre}}=\pi\times 2{,}5^{2}\times 10
    Vcylindre=π×6,25×10V_{\text{cylindre}}=\pi\times 6{,}25\times 10
    Vcylindre=62,5π mm3V_{\text{cylindre}}=62{,}5\pi\ \text{mm}^{3}   \;⇒\color{red}\Rightarrow  \; (valeur exacte)
    Vcylindre≈196 mm3V_{\text{cylindre}}\approx 196\ \text{mm}^{3}
    Question 3

    Léa affirme que le volume total d'un bonbon est compris entre 260260 et 262 mm3262\ \text{mm}^{3}. A-t-elle raison ?

    Correction
    Les deux demi-boules identiques forment une boule entière de rayon 2,52{,}5 mm :
    Vboule=43×π×2,53V_{\text{boule}}=\dfrac{4}{3}\times\pi\times 2{,}5^{3}
    Vboule=43×π×15,625V_{\text{boule}}=\dfrac{4}{3}\times\pi\times 15{,}625
    Vboule≈65,45 mm3V_{\text{boule}}\approx 65{,}45\ \text{mm}^{3}
    Vbonbon=Vcylindre+VbouleV_{\text{bonbon}}=V_{\text{cylindre}}+V_{\text{boule}}
    Vbonbon≈196,35+65,45V_{\text{bonbon}}\approx 196{,}35+65{,}45
    Vbonbon≈261,8 mm3V_{\text{bonbon}}\approx 261{,}8\ \text{mm}^{3}

    260<261,8<262260\lt 261{,}8\lt 262 : Léa a raison.
    Question 4

    Pour réaliser ces bonbons, la confiserie fabrique un mélange d'ingrédients qui est chauffé puis versé dans des moules en forme de gélule avant d'être refroidi.
    La confiserie fabrique chaque jour 8383 L de mélange.
    Avec cette quantité de mélange, peut-elle produire plus de 300 000300\,000 bonbons par jour ?

    Correction
    • 1 L=1 dm3=1 000 000 mm31\text{ L}=1\text{ dm}^{3}=1\,000\,000\text{ mm}^{3} (car 11 dm =100=100 mm et 100×100×100=1 000 000100\times 100\times 100=1\,000\,000).
    83 L=83 dm3=83 000 000 mm383\text{ L}=83\text{ dm}^{3}=83\,000\,000\text{ mm}^{3}
    On divise par le volume d'un bonbon :
    83 000 000261,8≈317 035\dfrac{83\,000\,000}{261{,}8}\approx 317\,035
    La confiserie peut produire environ 317 000317\,000 bonbons par jour.
    317 000>300 000317\,000\gt 300\,000 : elle peut donc produire plus de 300 000300\,000 bonbons par jour.

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