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Savoir calculer une image ou un antécédent avec une fonction linéaire - Exercice 5

5 min
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Question 1
On considère la fonction ff définie par : f(x)=13xf(x)=\frac{1}{3}x

Quel est l'antécédent de 22 ??

Correction
On cherche l'antécédent de 22.
C'est-à-dire xx tel que f(x)=2.f(x)=2. On a donc :
13x=2\frac{1}{3}x=2
x=2:13x=2:\frac{1}{3} On divise chaque membre par le nombre devant le xx qui ici vaut 13{\color{blue}\frac{1}{3}}.
x=2×31x=2\times\frac{3}{1}
x=6x=6
On en déduit donc que 66 est l'antécédent de 22 par la fonction f.f.
Question 2

Quel est l'antécédent de −1-1 ??

Correction
On cherche l'antécédent de −1-1.
C'est-à-dire xx tel que f(x)=−1.f(x)=-1. On a donc :
13x=−1\frac{1}{3}x=-1
x=−1:13x=-1:\frac{1}{3} On divise chaque membre par le nombre devant le xx qui ici vaut 13{\color{blue}\frac{1}{3}}.
x=−1×31x=-1\times\frac{3}{1}
x=−3x=-3
On en déduit donc que −3-3 est l'antécédent de −1-1 par la fonction f.f.
Question 3

Calculer f(−2)f(-2).

Correction
Pour déterminer l'image de −2-2 par ff, il nous suffit de remplacer xx par −2-2.
Il vient alors que :
f(−2)=13×(−2)f\left(-2\right)=\frac{1}{3}\times( -2)
f(−2)=−23f\left(-2\right)=-\frac{2}{3}
L'image de −2-2 par ff vaut −23-\frac{2}{3} .
Question 4

Quelle est l'image de 34\frac{3}{4}.

Correction
Pour déterminer l'image de 34\frac{3}{4} par ff, il nous suffit de remplacer xx par 34\frac{3}{4}.
Il vient alors que :
f(34)=13×34f\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{3}\times\frac{3}{4}
f(34)=1×33×4f\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{1\times3}{3\times4}
f(34)=1×33×4f\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{1\times\color{red}\cancel3}{{\color{red}\cancel3}\times4}
f(34)=14f\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{4}
L'image de 34\frac{3}{4} par ff vaut 14\frac{1}{4} .

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