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Fonction linéaire

Savoir calculer un antécédent avec une fonction linéaire - Exercice 5

12 min
30
COMPETENCES :
1°) Connaitre et utiliser le langage d'une fonction : (image ,antécédent).
2°) Savoir calculer en utilisant le langage algébrique. (Lettres, symboles ,etc).
Question 1
ff est la fonction linéaire x713xx\mapsto -\frac{7}{13}x .

Calculer l'antécédent de 22 par ff.

Correction
ff est la fonction linéaire x713xx\mapsto -\frac{7}{13}x qui peut s'écrire également sous la forme f(x)=713xf\left(x\right)=-\frac{7}{13}x.
Pour déterminer l'antécédent de 22 par ff, il nous faut résoudre l'équation f(x)=2f\left(x\right)=2.
f(x)=2f\left(x\right)=2 équivaut successivement à :
713x=2-\frac{7}{13}x=2
713x(713)=2(713)\frac{-\frac{7}{13} x}{-\left(\frac{7}{13} \right)} =\frac{2}{\left(-\frac{7}{13} \right)}   \;On divise chaque membre par le nombre devant le xx qui ici vaut 713.{\color{blue}-\frac{7}{13}.}
x=2÷(713)x=2\div {\left(-\frac{7}{13} \right)}
x=2×(137)x=2\times {\left(-\frac{13}{7} \right)}
x=21×(137)x=\frac{2}{1}\times {\left(-\frac{13}{7} \right)}

x=2×(13)1×7x=\frac{2\times (-13)}{1\times 7}
x=267x=-\frac{26}{7}

Il en résulte que 267-\frac{26}{7} est l'antécédent de 22 par ff.
Question 2
ff est la fonction linéaire x713xx\mapsto -\frac{7}{13}x .

Calculer l'antécédent de 8-8 par ff.

Correction
ff est la fonction linéaire x713xx\mapsto -\frac{7}{13}x qui peut s'écrire également sous la forme f(x)=713xf\left(x\right)=-\frac{7}{13}x.
Pour déterminer l'antécédent de 8-8 par ff, il nous faut résoudre l'équation f(x)=8f\left(x\right)=-8.
f(x)=8f\left(x\right)=-8 équivaut successivement à :
713x=8-\frac{7}{13}x=-8
713x(713)=8(713)\frac{-\frac{7}{13} x}{-\left(\frac{7}{13} \right)} =\frac{-8}{\left(-\frac{7}{13} \right)}   \;On divise chaque membre par le nombre devant le xx qui ici vaut 713.{\color{blue}-\frac{7}{13}.}
x=8÷(713)x=-8\div {\left(-\frac{7}{13} \right)}
x=8×(137)x=-8\times {\left(-\frac{13}{7} \right)}
x=81×(137)x=-\frac{8}{1}\times {\left(-\frac{13}{7} \right)}

x=(8)×(13)1×7x=\frac{(-8)\times (-13)}{1\times 7}
x=1047x=\frac{104}{7}

Il en résulte que 1047\frac{104}{7} est l'antécédent de 8-8 par ff.
Question 3
ff est la fonction linéaire x713xx\mapsto -\frac{7}{13}x .

Calculer l'antécédent de 1513\frac{15}{13} par ff.

Correction
ff est la fonction linéaire x713xx\mapsto -\frac{7}{13}x qui peut s'écrire également sous la forme f(x)=713xf\left(x\right)=-\frac{7}{13}x.
Pour déterminer l'antécédent de 1513\frac{15}{13} par ff, il nous faut résoudre l'équation f(x)=1513f\left(x\right)=\frac{15}{13}.
f(x)=1513f\left(x\right)=\frac{15}{13} équivaut successivement à :
713x=1513-\frac{7}{13}x=\frac{15}{13}
713x(713)=1513(713)\frac{-\frac{7}{13} x}{-\left(\frac{7}{13} \right)} =\frac{\frac{15}{13} }{-\left(\frac{7}{13} \right)}   \;On divise chaque membre par le nombre devant le xx qui ici vaut 713.{\color{blue}-\frac{7}{13}.}
x=1513÷(713)x=\frac{15}{13}\div {\left(-\frac{7}{13} \right)}
x=1513×(137)x=\frac{15}{13}\times {\left(-\frac{13}{7} \right)}
x=15×1313×7x=-\frac{15\times 13}{13\times 7}
x=15×1313×7x=-\frac{15\times \cancel{ \color{red}13}}{\cancel{ \color{red}13}\times 7 }
x=157x=-\frac{15}{7}

Il en résulte que 157-\frac{15}{7} est l'antécédent de 1513\frac{15}{13} par ff.