Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation - Exercice 2

12 min
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COMPETENCES :
1°) Savoir résoudre des problèmes modélisés par des fonctions affines.
2°) Savoir lire et interpréter différentes valeurs graphiquement.
Un opérateur propose deux forfaits mobiles :
  • forfait A : 1010 € par mois, plus 22 € par giga consommé ;
  • forfait B : 44 € par giga consommé.
On note xx le nombre de gigas consommés dans le mois, et fA(x)f_A(x) et fB(x)f_B(x) les prix mensuels (en euros).
Question 1

Exprimer fA(x)f_A(x) et fB(x)f_B(x) en fonction de xx.

Correction
fA(x)=2x+10f_A(x)=2x+10
  \; et   \;
fB(x)=4xf_B(x)=4x

Question 2

Résoudre l'équation fA(x)=fB(x)f_A(x)=f_B(x). Interpréter le résultat.

Correction
fA(x)=fB(x)f_A(x)=f_B(x) équivaut successivement à :
2x+10=4x2x+10=4x
2x+10−2x=4x−2x2x+10{\color{blue}-2x}=4x{\color{blue}-2x}
10=2x10=2x
102=2x2\dfrac{10}{\color{blue}2}=\dfrac{2x}{\color{blue}2}
x=5x=5

Et fB(5)=4×5=20f_B(5)=4\times 5=20. Pour 55 gigas, les deux forfaits coûtent 2020 €.
Question 3

Représenter graphiquement les deux fonctions, puis résoudre graphiquement l'inéquation fA(x)≤fB(x)f_A(x)\leq f_B(x). Interpréter le résultat.

Correction
  • Les solutions de l'inéquation f(x)≤g(x)f(x)\leq g(x) sont les abscisses des points de la droite représentant ff situés sur ou sous la droite représentant gg (sur ou au-dessus pour f(x)≥g(x)f(x)\geq g(x)).
  • Pour l'inéquation f(x)≥kf(x)\geq k, on compare la droite à la droite horizontale d'équation y=ky=k.
  • On surligne ensuite sur l'axe des abscisses les nombres xx qui conviennent.
La droite de fAf_A passe par (0  ;  10)\left(0\;;\;10\right) et (5  ;  20)\left(5\;;\;20\right) ; celle de fBf_B passe par l'origine et par (5  ;  20)\left(5\;;\;20\right).
La droite de fAf_A est sur ou sous celle de fBf_B à droite de leur point d'intersection : les solutions sont tous les nombres supérieurs ou égaux à 55.
À partir de 55 gigas consommés, le forfait A est le moins cher (ou au même prix pour 55 gigas).

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