Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation - Exercice 1

15 min
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COMPETENCES :
Savoir lire et interpréter différentes valeurs graphiquement.
On considère les fonctions affines f(x)=2x−1f(x)=2x-1 et g(x)=−x+5g(x)=-x+5, représentées ci-dessous.
Question 1

Résoudre graphiquement l'équation f(x)=g(x)f(x)=g(x), puis vérifier par le calcul.

Correction
  • Les solutions de l'équation f(x)=g(x)f(x)=g(x) sont les abscisses des points d'intersection des droites représentant ff et gg.
  • Pour les calculer, on résout l'équation f(x)=g(x)f(x)=g(x).
Les droites Cf\mathscr{C}_f et Cg\mathscr{C}_g se coupent au point de coordonnées (2  ;  3)\left(2\;;\;3\right) : graphiquement, la solution est 22.
Vérification : f(x)=g(x)f(x)=g(x) équivaut successivement à :
2x−1=−x+52x-1=-x+5
2x−1+x=−x+5+x2x-1{\color{blue}+x}=-x+5{\color{blue}+x}
3x−1=53x-1=5
3x−1+1=5+13x-1{\color{blue}+1}=5{\color{blue}+1}
3x=63x=6
3x3=63\dfrac{3x}{\color{blue}3}=\dfrac{6}{\color{blue}3}
x=2x=2

L'équation f(x)=g(x)f(x)=g(x) a pour unique solution 22.
Question 2

Résoudre graphiquement l'inéquation f(x)≤g(x)f(x)\leq g(x).

Correction
  • Les solutions de l'inéquation f(x)≤g(x)f(x)\leq g(x) sont les abscisses des points de la droite représentant ff situés sur ou sous la droite représentant gg (sur ou au-dessus pour f(x)≥g(x)f(x)\geq g(x)).
  • Pour l'inéquation f(x)≥kf(x)\geq k, on compare la droite à la droite horizontale d'équation y=ky=k.
  • On surligne ensuite sur l'axe des abscisses les nombres xx qui conviennent.
On cherche les abscisses des points de Cf\mathscr{C}_f situés sur ou sous Cg\mathscr{C}_g : c'est le cas à gauche du point d'intersection, d'abscisse 22.
Les solutions de l'inéquation f(x)≤g(x)f(x)\leq g(x) sont tous les nombres inférieurs ou égaux à 22.
Question 3

Résoudre graphiquement l'inéquation f(x)≥5f(x)\geq 5.

Correction
On trace la droite horizontale d'équation y=5y=5 : elle coupe Cf\mathscr{C}_f au point d'abscisse 33 (en effet, f(3)=2×3−1=5f(3)=2\times 3-1=5).
Les solutions de l'inéquation f(x)≥5f(x)\geq 5 sont tous les nombres supérieurs ou égaux à 33.
Question 4

Résoudre graphiquement l'inéquation g(x)≥0g(x)\geq 0.

Correction
On cherche les abscisses des points de Cg\mathscr{C}_g situés sur ou au-dessus de l'axe des abscisses (droite d'équation y=0y=0). Cg\mathscr{C}_g coupe cet axe au point d'abscisse 55 (en effet, g(5)=−5+5=0g(5)=-5+5=0).
Les solutions de l'inéquation g(x)≥0g(x)\geq 0 sont tous les nombres inférieurs ou égaux à 55.

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