Résoudre des problèmes avec deux fonctions affines - Exercice 2

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COMPETENCES :
1°) Savoir résoudre des problèmes modélisés par des fonctions affines.
2°) Savoir lire et interpréter différentes valeurs graphiquement.
Un loueur de vélos propose deux formules :
  • formule 1 : 44 € l'heure ;
  • formule 2 : un abonnement de 66 €, puis 22 € l'heure.
On note xx la durée de location (en heures), et F1(x)F_1(x) et F2(x)F_2(x) les prix (en euros) avec chacune des formules.
Question 1

Exprimer F1(x)F_1(x) et F2(x)F_2(x) en fonction de xx. Laquelle de ces deux fonctions est linéaire ?

Correction
F1(x)=4xF_1(x)=4x
  \; et   \;
F2(x)=2x+6F_2(x)=2x+6

F1F_1 est une fonction linéaire (le prix est proportionnel à la durée), F2F_2 est une fonction affine.
Question 2

Résoudre l'équation 4x=2x+64x=2x+6. Interpréter le résultat.

Correction
4x=2x+64x=2x+6 équivaut successivement à :
4x−2x=2x+6−2x4x{\color{blue}-2x}=2x+6{\color{blue}-2x}
2x=62x=6
2x2=62\dfrac{2x}{\color{blue}2}=\dfrac{6}{\color{blue}2}
x=3x=3

Et F1(3)=4×3=12F_1(3)=4\times 3=12. Pour une location de 33 heures, les deux formules coûtent le même prix : 1212 €.
Question 3

Les deux fonctions sont représentées ci-dessous. Selon la durée de location, quelle formule est la plus avantageuse ?

Correction
Les deux droites se coupent au point (3  ;  12)\left(3\;;\;12\right).
  • Pour une durée inférieure à 33 heures, la droite de F1F_1 est en dessous : la formule 1 est la plus avantageuse.
  • Pour 33 heures, les deux formules coûtent 1212 €.
  • Pour une durée supérieure à 33 heures, la droite de F2F_2 est en dessous : la formule 2 est la plus avantageuse.
Question 4

Avec un budget de 2020 €, combien d'heures peut-on louer un vélo avec chaque formule ?

Correction
On trace la droite horizontale d'équation y=20y=20 et on lit les abscisses des points d'intersection.
Par le calcul :
Formule 1 : 4x=204x=20, donc x=204=5x=\dfrac{20}{4}=5.
Formule 2 : 2x+6=202x+6=20 équivaut à 2x=142x=14, donc x=142=7x=\dfrac{14}{2}=7.
Avec 2020 €, on peut louer un vélo 55 heures avec la formule 1, et 77 heures avec la formule 2.

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