Résoudre des problèmes avec deux fonctions affines - Exercice 1

15 min

COMPETENCES :
1°) Savoir résoudre des problèmes modélisés par des fonctions affines.
2°) Savoir lire et interpréter différentes valeurs graphiquement.
Deux compagnies de taxis proposent les tarifs suivants :

compagnie A : $2{,}50$ € de prise en charge, puis $1{,}50$ € par kilomètre parcouru ;
compagnie B : $2$ € par kilomètre parcouru, sans prise en charge.

On note

x

le nombre de kilomètres parcourus, et

f_A(x)

f_B(x)

les prix payés (en euros) avec chacune des compagnies.

Question 1

Exprimer $f_A(x)$ et $f_B(x)$ en fonction de $x$ . Quelle est la nature de chacune de ces fonctions ?

Correction

Avec la compagnie A, on paie

1{,}50

€ pour chacun des

x

kilomètres, plus

2{,}50

€ :

f_A(x)=1{,}5x+2{,}5

Avec la compagnie B, on paie

2

€ pour chacun des

x

kilomètres :

f_B(x)=2x

$f_A$ est une fonction affine ( $a=1{,}5$ et $b=2{,}5$ ), et $f_B$ est une fonction linéaire.

Question 2

Calculer le prix d'une course de $4$ km avec chaque compagnie.

Correction

f_A(4)=1{,}5\times 4+2{,}5

f_A(4)=6+2{,}5

f_A(4)=8{,}5

f_B(4)=2\times 4

f_B(4)=8

Pour $4$ km, la course coûte $8{,}50$ € avec la compagnie A et $8$ € avec la compagnie B.

Question 3

Les deux fonctions sont représentées ci-dessous. Pour quelle distance les deux compagnies proposent-elles le même prix ? Lire graphiquement, puis vérifier par le calcul.

Correction

Les solutions de l'équation $f(x)=g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection des droites représentant $f$ et $g$ .
Pour les calculer, on résout l'équation $f(x)=g(x)$ .

Les deux droites se coupent au point de coordonnées

\left(5\;;\;10\right)

Vérification par le calcul : il nous faut résoudre l'équation

f_A(x)=f_B(x)

, qui équivaut successivement à :

1{,}5x+2{,}5=2x

1{,}5x+2{,}5{\color{blue}-1{,}5x}=2x{\color{blue}-1{,}5x}

2{,}5=0{,}5x

\dfrac{2{,}5}{\color{blue}0{,}5}=\dfrac{0{,}5x}{\color{blue}0{,}5}

x=5

f_B(5)=2\times 5=10

. Pour une course de $5$ km, les deux compagnies proposent le même prix : $10$ €.

Question 4

Pour une course de $8$ km, quelle est la compagnie la plus avantageuse ? Justifier à l'aide du graphique, puis par le calcul.

Correction

Sur le graphique, pour

x=8

, la droite de

f_A

est en dessous de celle de

f_B

: la compagnie A est la moins chère.
Par le calcul :

f_A(8)=1{,}5\times 8+2{,}5=12+2{,}5=14{,}5

\;

\;

f_B(8)=2\times 8=16

.
Pour $8$ km, la compagnie A est la plus avantageuse : $14{,}50$ € au lieu de $16$ €.

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Résoudre des problèmes avec deux fonctions affines - Exercice 1

Exprimer fA(x)f_A(x)fA​(x) et fB(x)f_B(x)fB​(x) en fonction de xxx. Quelle est la nature de chacune de ces fonctions ?

Calculer le prix d'une course de 444 km avec chaque compagnie.

Les deux fonctions sont représentées ci-dessous. Pour quelle distance les deux compagnies proposent-elles le même prix ? Lire graphiquement, puis vérifier par le calcul.

Pour une course de 888 km, quelle est la compagnie la plus avantageuse ? Justifier à l'aide du graphique, puis par le calcul.

Exprimer $f_A(x)$ et $f_B(x)$ en fonction de $x$ . Quelle est la nature de chacune de ces fonctions ?

Calculer le prix d'une course de $4$ km avec chaque compagnie.

Pour une course de $8$ km, quelle est la compagnie la plus avantageuse ? Justifier à l'aide du graphique, puis par le calcul.