Reconnaître une fonction affine et identifier ses coefficients - Exercice 2

10 min
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COMPETENCES :
1°) Modéliser : savoir reconnaître une fonction affine et ses coefficients.
2°) Savoir calculer en utilisant le langage algébrique. (lettres, symboles, etc.).
Réduire chacune des expressions suivantes, puis dire si la fonction est affine. Si oui, préciser aa et bb.
Question 1

f(x)=3(x−2)+1f(x)=3(x-2)+1

Correction
  • Pour développer, on utilise la distributivité : k(a+b)=k×a+k×bk(a+b)=k\times a+k\times b.
  • (a+b)2=a2+2ab+b2\small{\color{red}\boxed{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}}
f(x)=3(x−2)+1f(x)=3(x-2)+1
f(x)=3×x+3×(−2)+1f(x)=3\times x+3\times(-2)+1
f(x)=3x−6+1f(x)=3x-6+1
f(x)=3x−5f(x)=3x-5

f(x)f(x) est bien de la forme ax+bax+b. ff est une fonction affine, avec a=3a=3 et b=−5b=-5.
Question 2

g(x)=(x+1)2−x2g(x)=(x+1)^2-x^2

Correction
On développe (x+1)2(x+1)^2 à l'aide de l'identité remarquable : (x+1)2=x2+2×x×1+12=x2+2x+1(x+1)^2=x^2+2\times x\times 1+1^2=x^2+2x+1.
g(x)=x2+2x+1−x2g(x)=x^2+2x+1-x^2
g(x)=2x+1g(x)=2x+1

Attention : l'expression de départ contient des carrés, mais après réduction, il n'en reste plus.
gg est une fonction affine, avec a=2a=2 et b=1b=1.
Question 3

h(x)=x(x+4)−x2h(x)=x(x+4)-x^2

Correction
h(x)=x(x+4)−x2h(x)=x(x+4)-x^2
h(x)=x×x+x×4−x2h(x)=x\times x+x\times 4-x^2
h(x)=x2+4x−x2h(x)=x^2+4x-x^2
h(x)=4xh(x)=4x

hh est une fonction affine, avec a=4a=4 et b=0b=0 : c'est même une fonction linéaire.
Question 4

k(x)=2x(x−1)k(x)=2x(x-1)

Correction
k(x)=2x(x−1)k(x)=2x(x-1)
k(x)=2x×x+2x×(−1)k(x)=2x\times x+2x\times(-1)
k(x)=2x2−2xk(x)=2x^2-2x

Il reste un terme en x2x^2 : k(x)k(x) n'est pas de la forme ax+bax+b. kk n'est pas une fonction affine.

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