Exercices types : 33ème partie - Exercice 4

25 min
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Une salle de sport propose trois formules pour l'année :
  • formule A : 1212 € par séance ;
  • formule B : un abonnement de 6060 €, puis 66 € par séance ;
  • formule C : un forfait illimité de 300300 €.
On note xx le nombre de séances dans l'année, et fA(x)f_A(x), fB(x)f_B(x) et fC(x)f_C(x) les prix payés (en euros) avec chacune des formules.
Question 1

Calculer le prix payé avec chaque formule pour 88 séances.

Correction
Formule A : 12×8=9612\times 8=96 €.
Formule B : 60+6×8=60+48=10860+6\times 8=60+48=108 €.
Formule C : 300300 €, quel que soit le nombre de séances.
Pour 88 séances, la formule A est la moins chère.
Question 2

Exprimer fA(x)f_A(x), fB(x)f_B(x) et fC(x)f_C(x) en fonction de xx, et préciser la nature de chacune de ces fonctions.

Correction
  • Une fonction affine est une fonction de la forme f(x)=ax+bf(x)={\color{blue}a}x+{\color{red}b} où a{\color{blue}a} est un nombre appelé coefficient directeur, et b{\color{red}b} un nombre appelé ordonnée à l'origine.
  • Si b=0b=0, alors f(x)=axf(x)=ax : la fonction est linéaire (c'est une fonction affine particulière).
  • Si a=0a=0, alors f(x)=bf(x)=b : la fonction est constante (c'est aussi une fonction affine particulière).
fA(x)=12xf_A(x)=12x
: fonction linéaire (le prix est proportionnel au nombre de séances).
fB(x)=6x+60f_B(x)=6x+60
: fonction affine, avec a=6a=6 et b=60b=60.
fC(x)=300f_C(x)=300
: fonction constante (fonction affine avec a=0a=0).
Question 3

Résoudre l'équation 12x=6x+6012x=6x+60. Interpréter le résultat.

Correction
12x=6x+6012x=6x+60 équivaut successivement à :
12x−6x=6x+60−6x12x{\color{blue}-6x}=6x+60{\color{blue}-6x}
6x=606x=60
6x6=606\dfrac{6x}{\color{blue}6}=\dfrac{60}{\color{blue}6}
x=10x=10

Et fA(10)=12×10=120f_A(10)=12\times 10=120. Pour 1010 séances, les formules A et B coûtent le même prix : 120120 €.
Question 4

Les représentations graphiques des trois fonctions sont données ci-dessous. Lire graphiquement à partir de combien de séances la formule C devient la plus avantageuse.

Correction
On cherche à partir de quand la droite de fCf_C est en dessous des deux autres.
La droite de fAf_A coupe celle de fCf_C pour 2525 séances, et la droite de fBf_B la coupe pour 4040 séances.
Au-delà de 4040 séances, la droite de fCf_C est en dessous des deux autres. La formule C devient la plus avantageuse à partir de 4141 séances (pour 4040 séances, les formules B et C coûtent le même prix).
Question 5

Retrouver ce résultat par le calcul.

Correction
Il nous faut résoudre l'équation fB(x)=fC(x)f_B(x)=f_C(x), qui équivaut successivement à :
6x+60=3006x+60=300
6x+60−60=300−606x+60{\color{blue}-60}=300{\color{blue}-60}
6x=2406x=240
6x6=2406\dfrac{6x}{\color{blue}6}=\dfrac{240}{\color{blue}6}
x=40x=40

Pour 4141 séances : fB(41)=6×41+60=306f_B(41)=6\times 41+60=306   \; et   \; fA(41)=12×41=492f_A(41)=12\times 41=492, tous deux supérieurs à 300300.
On retrouve bien : à partir de 4141 séances, la formule C est la plus avantageuse.
Question 6

Mathis dispose d'un budget de 200200 € pour l'année. Quelle formule lui permet de faire le plus de séances ?

Correction
Ici, le nombre de séances est un nombre entier : il faudra arrondir à l'unité inférieure.
Formule A : on résout fA(x)=200f_A(x)=200 : 12x=20012x=200, donc x=20012x=\dfrac{200}{12}, et 20012≈16,7\dfrac{200}{12}\approx 16{,}7.
12×16=19212\times 16=192 et 12×17=20412\times 17=204 : avec 200200 €, Mathis peut faire 1616 séances.
Formule B : on résout fB(x)=200f_B(x)=200 : 6x+60=2006x+60=200, 6x=1406x=140, donc x=1406x=\dfrac{140}{6}, et 1406≈23,3\dfrac{140}{6}\approx 23{,}3.
60+6×23=19860+6\times 23=198 et 60+6×24=20460+6\times 24=204 : avec 200200 €, Mathis peut faire 2323 séances.
Formule C : elle coûte 300300 €, et 300>200300\gt 200 : elle dépasse son budget.
C'est donc la formule B qui permet de faire le plus de séances : 2323.

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