Exercices types : 33ème partie - Exercice 3

15 min
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COMPETENCES :
1°) Raisonner : savoir justifier une affirmation.
2°) Modéliser : savoir reconnaître une fonction affine et ses coefficients.
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Question 1

« La fonction f(x)=(x+3)2−x2f(x)=(x+3)^2-x^2 est une fonction affine. »

Correction
  • Pour développer, on utilise la distributivité : k(a+b)=k×a+k×bk(a+b)=k\times a+k\times b.
  • (a+b)2=a2+2ab+b2\small{\color{red}\boxed{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}}
On développe : (x+3)2=x2+2×x×3+32=x2+6x+9(x+3)^2=x^2+2\times x\times 3+3^2=x^2+6x+9.
f(x)=x2+6x+9−x2f(x)=x^2+6x+9-x^2
f(x)=6x+9f(x)=6x+9

f(x)f(x) est de la forme ax+bax+b, avec a=6a=6 et b=9b=9. L'affirmation est vraie.
Question 2

« Si gg est une fonction affine telle que g(1)=g(4)g(1)=g(4), alors gg est une fonction constante. »

Correction
  • Une fonction affine est de la forme f(x)=ax+bf(x)=ax+b. Où aa est appelé coefficient directeur.
  • On peut calculer le coefficient a\color{red}{a} en utilisant les images de deux nombres différents x1\color{red}{x_1} et x2\color{red}{x_2} par la formule :
    a=f(x2)−f(x1)x2−x1\color{red}\boxed{a=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}   \; ⇒\color{red}{\Rightarrow} Avec f(x2)f(x_2) l'image de x2x_2 et f(x1)f(x_1) l'image de x1x_1.
Le coefficient directeur de gg est : a=g(4)−g(1)4−1a=\dfrac{g(4)-g(1)}{4-1}.
Comme g(1)=g(4)g(1)=g(4), le numérateur est nul : a=03=0a=\dfrac{0}{3}=0.
Donc g(x)=0×x+b=bg(x)=0\times x+b=b : tous les nombres ont la même image. L'affirmation est vraie.
Question 3

« Le point M(3  ;  −1)M\left(3\;;\;-1\right) appartient à la droite représentant la fonction h(x)=−2x+5h(x)=-2x+5. »

Correction
  • Le point M(xM  ;  yM)M\left(x_M\;;\;y_M\right) appartient à la droite représentant la fonction ff si et seulement si f(xM)=yMf(x_M)=y_M.
  • Pour le savoir, on calcule l'image de l'abscisse du point, et on la compare à son ordonnée.
h(3)=−2×3+5h(3)=-2\times 3+5
h(3)=−6+5h(3)=-6+5
h(3)=−1h(3)=-1

L'image de l'abscisse de MM est égale à son ordonnée. L'affirmation est vraie.
Question 4

« Les droites représentant les fonctions u(x)=3x−1u(x)=3x-1 et v(x)=3x+2v(x)=3x+2 se coupent en un point. »

Correction
  • Si a>0\color{red}a\gt 0, la droite « monte » quand on la parcourt de gauche à droite ; si a<0\color{red}a\lt 0, elle « descend » ; si a=0\color{red}a=0, elle est parallèle à l'axe des abscisses.
  • Deux droites qui ont le même coefficient directeur sont parallèles.
Les fonctions uu et vv ont le même coefficient directeur 33 : leurs droites sont parallèles.
Elles ne sont pas confondues, car leurs ordonnées à l'origine sont différentes : u(0)=−1u(0)=-1 et v(0)=2v(0)=2.
Deux droites parallèles distinctes ne se coupent jamais : l'affirmation est fausse.
Question 5

« Une fonction linéaire est une fonction affine. »

Correction
  • Une fonction affine est une fonction de la forme f(x)=ax+bf(x)={\color{blue}a}x+{\color{red}b} où a{\color{blue}a} est un nombre appelé coefficient directeur, et b{\color{red}b} un nombre appelé ordonnée à l'origine.
  • Si b=0b=0, alors f(x)=axf(x)=ax : la fonction est linéaire (c'est une fonction affine particulière).
  • Si a=0a=0, alors f(x)=bf(x)=b : la fonction est constante (c'est aussi une fonction affine particulière).
Une fonction linéaire s'écrit axax, c'est-à-dire ax+0ax+0 : c'est une fonction affine dont l'ordonnée à l'origine est nulle.
L'affirmation est vraie. (Attention, la réciproque est fausse : 2x+12x+1 est affine, mais pas linéaire.)
Question 6

« Si kk est une fonction affine de coefficient directeur négatif, alors l'image de 22 par kk est plus petite que l'image de 55. »

Correction
  • Le coefficient directeur a\color{red}a indique de combien varie f(x)f(x) quand xx augmente de 11 : sur le graphique, quand on avance de 11 unité vers la droite, on monte de aa unités si a>0a\gt 0, et on descend si a<0a\lt 0.
  • Plus généralement, quand xx augmente d'un nombre hh, f(x)f(x) varie de a×ha\times h.
Quand xx passe de 22 à 55, il augmente de 33 : k(x)k(x) varie de 3a3a, qui est négatif puisque a<0a\lt 0. L'image de 55 est donc plus petite que l'image de 22.
Contre-exemple : pour k(x)=−xk(x)=-x, on a k(2)=−2k(2)=-2 et k(5)=−5k(5)=-5, et −2>−5-2\gt -5.
L'affirmation est fausse.

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