Exercices types : 33ème partie - Exercice 2

18 min
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ABCDABCD est un rectangle tel que AB=x+3AB=x+3 et BC=2BC=2, en centimètres, où xx est un nombre positif.
Question 1

Montrer que le périmètre du rectangle, en cm, est P(x)=2x+10P(x)=2x+10.

Correction
Le périmètre d'un rectangle est égal à 2×(Longueur+largeur)2\times(\text{Longueur}+\text{largeur}).
P(x)=2×(x+3+2)P(x)=2\times(x+3+2)
P(x)=2×(x+5)P(x)=2\times(x+5)
P(x)=2×x+2×5P(x)=2\times x+2\times 5
P(x)=2x+10P(x)=2x+10

Question 2

Montrer que l'aire du rectangle, en cm², est A(x)=2x+6\mathscr{A}(x)=2x+6.

Correction
L'aire d'un rectangle est égale à Longueur×largeur\text{Longueur}\times\text{largeur}.
A(x)=(x+3)×2\mathscr{A}(x)=(x+3)\times 2
A(x)=x×2+3×2\mathscr{A}(x)=x\times 2+3\times 2
A(x)=2x+6\mathscr{A}(x)=2x+6

Question 3

Les fonctions PP et A\mathscr{A} sont-elles des fonctions affines ? Linéaires ?

Correction
  • Une fonction affine est une fonction de la forme f(x)=ax+bf(x)={\color{blue}a}x+{\color{red}b} où a{\color{blue}a} est un nombre appelé coefficient directeur, et b{\color{red}b} un nombre appelé ordonnée à l'origine.
  • Si b=0b=0, alors f(x)=axf(x)=ax : la fonction est linéaire (c'est une fonction affine particulière).
  • Si a=0a=0, alors f(x)=bf(x)=b : la fonction est constante (c'est aussi une fonction affine particulière).
P(x)=2x+10P(x)=2x+10 et A(x)=2x+6\mathscr{A}(x)=2x+6 sont de la forme ax+bax+b : ce sont deux fonctions affines, de même coefficient directeur 22.
Leurs ordonnées à l'origine (1010 et 66) ne sont pas nulles : ce ne sont pas des fonctions linéaires.
(Le périmètre et l'aire ne sont pas proportionnels à xx.)
Question 4

Pour quelle valeur de xx le périmètre du rectangle est-il égal à 2020 cm ? Quelle est alors la longueur ABAB ?

Correction
Il nous faut résoudre l'équation P(x)=20P(x)=20, qui équivaut successivement à :
2x+10=202x+10=20
2x+10−10=20−102x+10{\color{blue}-10}=20{\color{blue}-10}
2x=102x=10
2x2=102\dfrac{2x}{\color{blue}2}=\dfrac{10}{\color{blue}2}
x=5x=5

Alors AB=x+3=5+3=8AB=x+3=5+3=8. Pour x=5x=5, le périmètre vaut 2020 cm, et le rectangle mesure 88 cm sur 22 cm.
Question 5

Pour quelle valeur de xx l'aire du rectangle est-elle égale à 1515 cm² ?

Correction
Il nous faut résoudre l'équation A(x)=15\mathscr{A}(x)=15, qui équivaut successivement à :
2x+6=152x+6=15
2x+6−6=15−62x+6{\color{blue}-6}=15{\color{blue}-6}
2x=92x=9
2x2=92\dfrac{2x}{\color{blue}2}=\dfrac{9}{\color{blue}2}
x=4,5x=4{,}5

Vérification : A(4,5)=2×4,5+6=9+6=15\mathscr{A}(4{,}5)=2\times 4{,}5+6=9+6=15. Pour x=4,5x=4{,}5, l'aire vaut 1515 cm².
Question 6

Existe-t-il une valeur de xx pour laquelle le périmètre et l'aire s'expriment par le même nombre ? Justifier par le calcul, puis à l'aide d'un graphique.

Correction
On cherche xx tel que P(x)=A(x)P(x)=\mathscr{A}(x), c'est-à-dire 2x+10=2x+62x+10=2x+6.
En soustrayant 2x2x à chaque membre, on obtient : 1010 d'un côté et 66 de l'autre. Or 10≠610\neq 6 : aucune valeur de xx ne convient.
Graphiquement :
Il n'existe aucune valeur de xx : le périmètre est toujours supérieur de 44 à l'aire (P(x)−A(x)=4P(x)-\mathscr{A}(x)=4).

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