Exercices types : 33ème partie - Exercice 1

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En France, on mesure les températures en degrés Celsius (°C). Aux États-Unis, on utilise les degrés Fahrenheit (°F).
Pour convertir, on utilise la fonction ff définie par f(x)=1,8x+32f(x)=1{,}8x+32, où xx est une température en °C, et f(x)f(x) la même température en °F.
Question 1

La fonction ff est-elle une fonction affine ? Préciser son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine.

Correction
  • Une fonction affine est une fonction de la forme f(x)=ax+bf(x)={\color{blue}a}x+{\color{red}b} où a{\color{blue}a} est un nombre appelé coefficient directeur, et b{\color{red}b} un nombre appelé ordonnée à l'origine.
  • Si b=0b=0, alors f(x)=axf(x)=ax : la fonction est linéaire (c'est une fonction affine particulière).
  • Si a=0a=0, alors f(x)=bf(x)=b : la fonction est constante (c'est aussi une fonction affine particulière).
f(x)=1,8x+32f(x)={\color{blue}1{,}8}x+{\color{red}32} est de la forme ax+b{\color{blue}a}x+{\color{red}b}. ff est une fonction affine, avec a=1,8a=1{,}8 et b=32b=32.
Question 2

Convertir 2020 °C en degrés Fahrenheit.

Correction
Il nous faut calculer l'image de 2020 par ff.
f(20)=1,8×20+32f(20)=1{,}8\times 20+32
f(20)=36+32f(20)=36+32
f(20)=68f(20)=68

2020 °C correspondent à 6868 °F.
Question 3

Convertir −10-10 °C en degrés Fahrenheit.

Correction
f(−10)=1,8×(−10)+32f(-10)=1{,}8\times(-10)+32   \; Ici, il faut bien penser à mettre la valeur −10-10 entre parenthèses.
f(−10)=−18+32f(-10)=-18+32
f(−10)=14f(-10)=14

−10-10 °C correspondent à 1414 °F.
Question 4

L'eau bout à 212212 °F. Quelle est cette température en degrés Celsius ?

Correction
Ici, on connaît la température en °F : on cherche l'antécédent de 212212 par ff.
Il nous faut résoudre l'équation f(x)=212f(x)=212, qui équivaut successivement à :
1,8x+32=2121{,}8x+32=212
1,8x+32−32=212−321{,}8x+32{\color{blue}-32}=212{\color{blue}-32}
1,8x=1801{,}8x=180
1,8x1,8=1801,8\dfrac{1{,}8x}{\color{blue}1{,}8}=\dfrac{180}{\color{blue}1{,}8}
x=100x=100

L'eau bout à 100100 °C.
Question 5

De combien de degrés Fahrenheit la température augmente-t-elle quand elle augmente de 11 °C ? Et de 1010 °C ?

Correction
  • Le coefficient directeur a\color{red}a indique de combien varie f(x)f(x) quand xx augmente de 11 : sur le graphique, quand on avance de 11 unité vers la droite, on monte de aa unités si a>0a\gt 0, et on descend si a<0a\lt 0.
  • Plus généralement, quand xx augmente d'un nombre hh, f(x)f(x) varie de a×ha\times h.
Le coefficient directeur est a=1,8a=1{,}8 : quand xx augmente de 11, f(x)f(x) augmente de 1,81{,}8.
Quand xx augmente de 1010, f(x)f(x) augmente de 1,8×10=181{,}8\times 10=18.
Une hausse de 11 °C correspond à une hausse de 1,81{,}8 °F, et une hausse de 1010 °C à une hausse de 1818 °F.
Question 6

Existe-t-il une température qui s'exprime par le même nombre en °C et en °F ?

Correction
On cherche un nombre xx tel que f(x)=xf(x)=x. Cette équation équivaut successivement à :
1,8x+32=x1{,}8x+32=x
1,8x+32−x=x−x1{,}8x+32{\color{blue}-x}=x{\color{blue}-x}
0,8x+32=00{,}8x+32=0
0,8x+32−32=0−320{,}8x+32{\color{blue}-32}=0{\color{blue}-32}
0,8x=−320{,}8x=-32
0,8x0,8=−320,8\dfrac{0{,}8x}{\color{blue}0{,}8}=\dfrac{-32}{\color{blue}0{,}8}
x=−40x=-40

Vérification : f(−40)=1,8×(−40)+32=−72+32=−40f(-40)=1{,}8\times(-40)+32=-72+32=-40.
Oui : −40-40 °C et −40-40 °F sont la même température.

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