Déterminer l'expression d'une fonction affine - Exercice 3

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COMPETENCES :
1°) Savoir calculer en utilisant le langage algébrique. (lettres, symboles, etc.).
2°) Modéliser : savoir reconnaître une fonction affine et ses coefficients.
3°) Raisonner : savoir justifier une affirmation.
Dans un repère, on considère les points A(1  ;  2)A\left(1\;;\;2\right) et B(4  ;  11)B\left(4\;;\;11\right). On appelle ff la fonction affine dont la représentation graphique est la droite (AB)(AB).
Question 1

Déterminer l'expression de f(x)f(x).

Correction
  • Une fonction affine est de la forme f(x)=ax+bf(x)=ax+b. Où aa est appelé coefficient directeur.
  • On peut calculer le coefficient a\color{red}{a} en utilisant les images de deux nombres différents x1\color{red}{x_1} et x2\color{red}{x_2} par la formule :
    a=f(x2)−f(x1)x2−x1\color{red}\boxed{a=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}   \; ⇒\color{red}{\Rightarrow} Avec f(x2)f(x_2) l'image de x2x_2 et f(x1)f(x_1) l'image de x1x_1.
Les points AA et BB sont sur la droite : f(1)=2f(1)=2   \; et   \; f(4)=11f(4)=11.
Calculons dans un premier temps le coefficient directeur :
a=f(4)−f(1)4−1a=\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1}
a=11−24−1a=\dfrac{11-2}{4-1}
a=93a=\dfrac{9}{3}
a=3\boxed{a=3}
Calculons dans un second temps l'ordonnée à l'origine : f(x)=3×x+bf(x)={\color{red}3}\times x+b et f(1)=2f(1)=2, donc :
3×1+b=23\times 1+b=2
3+b−3=2−33+b{\color{green}-3}=2{\color{green}-3}
b=−1\boxed{\color{blue}b=-1}
On peut donc conclure que : f(x)=3x−1\color{blue}\boxed{f(x)=3x-1}
Question 2

Le point C(−2  ;  −7)C\left(-2\;;\;-7\right) appartient-il à la droite (AB)(AB) ? Que peut-on en déduire pour les points AA, BB et CC ?

Correction
  • Le point M(xM  ;  yM)M\left(x_M\;;\;y_M\right) appartient à la droite représentant la fonction ff si et seulement si f(xM)=yMf(x_M)=y_M.
  • Pour le savoir, on calcule l'image de l'abscisse du point, et on la compare à son ordonnée.
f(−2)=3×(−2)−1f(-2)=3\times(-2)-1
f(−2)=−6−1f(-2)=-6-1
f(−2)=−7f(-2)=-7

L'image de l'abscisse de CC est égale à son ordonnée : le point CC appartient à la droite (AB)(AB).
Les points AA, BB et CC sont donc alignés.
Question 3

Le point D(10  ;  28)D\left(10\;;\;28\right) appartient-il à la droite (AB)(AB) ?

Correction
f(10)=3×10−1f(10)=3\times 10-1
f(10)=30−1f(10)=30-1
f(10)=29f(10)=29

Or l'ordonnée de DD est 2828, et 29≠2829\neq 28. Le point DD n'appartient pas à la droite (AB)(AB) (il est juste en dessous).
Question 4

Déterminer l'abscisse du point EE de la droite (AB)(AB) dont l'ordonnée est 2020.

Correction
L'abscisse de EE est l'antécédent de 2020 par ff : il nous faut résoudre l'équation f(x)=20f(x)=20, qui équivaut successivement à :
3x−1=203x-1=20
3x−1+1=20+13x-1{\color{blue}+1}=20{\color{blue}+1}
3x=213x=21
3x3=213\dfrac{3x}{\color{blue}3}=\dfrac{21}{\color{blue}3}
x=7x=7

Le point EE a pour coordonnées (7  ;  20)\left(7\;;\;20\right).

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