Déterminer l'expression d'une fonction affine - Exercice 1

15 min
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COMPETENCES :
1°) Savoir calculer en utilisant le langage algébrique. (lettres, symboles, etc.).
2°) Modéliser : savoir reconnaître une fonction affine et ses coefficients.
Dans chaque cas, déterminer l'expression de la fonction affine.
Question 1

ff est une fonction affine telle que f(2)=7f(2)=7 et f(5)=13f(5)=13.

Correction
  • Une fonction affine est de la forme f(x)=ax+bf(x)=ax+b. Où aa est appelé coefficient directeur.
  • On peut calculer le coefficient a\color{red}{a} en utilisant les images de deux nombres différents x1\color{red}{x_1} et x2\color{red}{x_2} par la formule :
    a=f(x2)−f(x1)x2−x1\color{red}\boxed{a=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}   \; ⇒\color{red}{\Rightarrow} Avec f(x2)f(x_2) l'image de x2x_2 et f(x1)f(x_1) l'image de x1x_1.
Pour déterminer la fonction affine ff, on doit calculer le coefficient directeur a\color{red}a, et l'ordonnée à l'origine b\color{blue}b.
Calculons dans un premier temps le coefficient directeur de la droite représentative de ff :
a=f(x2)−f(x1)x2−x1a=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}
a=f(5)−f(2)5−2a=\dfrac{f(5)-f(2)}{5-2}
a=13−75−2a=\dfrac{13-7}{5-2}   \; Avec f(5)=13f(5)=13   \; et   \; f(2)=7f(2)=7
a=63a=\dfrac{6}{3}
a=2\boxed{a=2}
On peut donc écrire ici, dans un premier temps, que f(x)=2×x+bf(x)={\color{red}2}\times x+b.
Calculons dans un second temps l'ordonnée à l'origine :
En utilisant f(2)=7f(2)=7, on a :
2×2+b=72\times 2+b=7
4+b=74+b=7
4+b−4=7−44+b{\color{green}-4}=7{\color{green}-4}   \; On soustrait 4{\color{green}4} à chaque membre.
b=3\boxed{\color{blue}b=3}
On peut donc conclure que : f(x)=2x+3\color{blue}\boxed{f(x)=2x+3}
Question 2

gg est une fonction affine telle que g(−1)=4g(-1)=4 et g(3)=−4g(3)=-4.

Correction
Calculons dans un premier temps le coefficient directeur :
a=g(3)−g(−1)3−(−1)a=\dfrac{g(3)-g(-1)}{3-(-1)}
a=−4−43+1a=\dfrac{-4-4}{3+1}   \; Avec g(3)=−4g(3)=-4   \; et   \; g(−1)=4g(-1)=4
a=−84a=\dfrac{-8}{4}
a=−2\boxed{a=-2}
On peut donc écrire que g(x)=−2×x+bg(x)={\color{red}-2}\times x+b.
Calculons dans un second temps l'ordonnée à l'origine :
En utilisant g(3)=−4g(3)=-4, on a :
−2×3+b=−4-2\times 3+b=-4
−6+b=−4-6+b=-4
−6+b+6=−4+6-6+b{\color{green}+6}=-4{\color{green}+6}   \; On ajoute 6{\color{green}6} à chaque membre.
b=2\boxed{\color{blue}b=2}
On peut donc conclure que : g(x)=−2x+2\color{blue}\boxed{g(x)=-2x+2}
Question 3

hh est une fonction affine de coefficient directeur −3-3, telle que h(2)=1h(2)=1.

Correction
Ici, le coefficient directeur est donné : a=−3a=-3. On peut donc écrire que h(x)=−3×x+bh(x)={\color{red}-3}\times x+b.
Calculons l'ordonnée à l'origine : en utilisant h(2)=1h(2)=1, on a :
−3×2+b=1-3\times 2+b=1
−6+b=1-6+b=1
−6+b+6=1+6-6+b{\color{green}+6}=1{\color{green}+6}
b=7\boxed{\color{blue}b=7}
On peut donc conclure que : h(x)=−3x+7\color{blue}\boxed{h(x)=-3x+7}

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