Sujet 4 - Exercice 1

Déterminons le résultat obtenu avec le programme A :
première étape :
Le nombre choisi est $$\color{blue}4$$.
deuxième étape :
On ajoute $$3$$ à ce nombre.
On obtient donc $$\;$$$$\color{red}\Rightarrow$$ $$\;$$ $$\color{blue}4+3=7.$$
troisième étape :
On calcule le carré de la somme obtenue.
On obtient donc $$\;$$$$\color{red}\Rightarrow$$ $$\;$$ $$\color{blue}7^{2}=7\times 7=49.$$
quatrième étape :
On soustrait $$9$$ au résultat.
On obtient donc $$\;$$$$\color{red}\Rightarrow$$ $$\;$$ $$\color{blue}49-9=40.$$

Déterminons le résultat obtenu avec le programme B :
première étape :
Le nombre choisi est $$\color{blue}4$$.
deuxième étape :
On ajoute $$6$$ à ce nombre.
On obtient donc $$\;$$$$\color{red}\Rightarrow$$ $$\;$$ $$\color{blue}4+6=10.$$
troisième étape :
On multiplie le résultat obtenu par le nombre de départ.
On obtient donc $$\;$$$$\color{red}\Rightarrow$$ $$\;$$ $$\color{blue}10\times 4=40.$$

On remarque que les deux programmes donnent le même résultat pour le nombre $$4$$.

Dans la colonne B, le nombre de départ se trouve dans la cellule B1.
Le programme B consiste à ajouter $$6$$ au nombre de départ, puis à multiplier le résultat obtenu par le nombre de départ : il faut donc calculer $$\left(\text{B1}+6\right)\times \text{B1}$$.

D'autres formules conviennent, par exemple =B1*(B1+6).
En étirant la formule vers la droite, B1 devient C1, D1, … : chaque cellule de la ligne $$3$$ calcule le résultat du programme B pour le nombre de départ placé au-dessus.
On remarque que les lignes $$2$$ et $$3$$ sont identiques : les deux programmes semblent donner toujours le même résultat (voir la question 8).

On place $$-3$$ sur l'axe des abscisses, on rejoint la courbe verticalement, puis on lit l'ordonnée du point obtenu sur l'axe des ordonnées.

On retrouve ce résultat dans le tableur : pour le nombre de départ $$-3$$, le programme B donne $$-9$$.

On place $$-5$$ sur l'axe des ordonnées et on trace la droite horizontale qui passe par ce point. Elle coupe la courbe en deux points : on lit leurs abscisses sur l'axe des abscisses.
Vérification : $$f\left(-5\right)=\left(-5+6\right)\times\left(-5\right)=1\times\left(-5\right)=-5$$ et $$f\left(-1\right)=\left(-1+6\right)\times\left(-1\right)=5\times\left(-1\right)=-5$$.

Appelons $$x$$ le nombre de départ.
Avec le programme B, on ajoute $$6$$ : on obtient $$x+6$$. Puis on multiplie par le nombre de départ : on obtient $$\left(x+6\right)\times x$$.
Il nous faut donc résoudre l'équation : $$\left(x+6\right)\times x=0$$.$$\left(x+6\right)\times x=0$$ $$\;\;\;$$si et seulement si : $$\;\;\;$$ $$x+6=0$$ $$\;\;\;$$ ou : $$\;\;\;$$ $$x=0$$
Ainsi, on a :
$$x+6=0$$
$$x+6{\color{blue}-6}=0{\color{blue}-6}$$
$$x=-6$$

On retrouve sur la courbe les deux points où elle coupe l'axe des abscisses :

$$\left(x+3\right)\left(x+3\right)$$ équivaut successivement à :
$$x\times x+x\times 3+3\times x+3\times 3$$
$$x^{2}+3x+3x+9$$

1°) Déterminons le résultat obtenu avec le programme A :
première étape :
Le nombre choisi est $$\color{blue}x$$.
deuxième étape :
On ajoute $$3$$ à ce nombre.
On obtient donc $$\;$$$$\color{red}\Rightarrow$$ $$\;$$ $$\color{blue}x+3$$
troisième étape :
On calcule le carré de la somme obtenue.
On obtient donc $$\;$$$$\color{red}\Rightarrow$$ $$\;$$ $$\color{blue}\left(x+3\right)^{2}=\left(x+3\right)\left(x+3\right)$$
quatrième étape :
On soustrait $$9$$ au résultat.
On obtient donc $$\;$$$$\color{red}\Rightarrow$$ $$\;$$ $$\color{blue}\left(x+3\right)\left(x+3\right)-9$$
D'après la question 7, $$\left(x+3\right)\left(x+3\right)=x^{2}+6x+9$$, donc le programme A donne :
$$x^{2}+6x+9-9=x^{2}+6x$$
2°) Déterminons le résultat obtenu avec le programme B :
première étape :
Le nombre choisi est $$\color{blue}x$$.
deuxième étape :
On ajoute $$6$$ à ce nombre.
On obtient donc $$\;$$$$\color{red}\Rightarrow$$ $$\;$$ $$\color{blue}x+6$$
troisième étape :
On multiplie le résultat obtenu par le nombre de départ.
On obtient donc $$\;$$$$\color{red}\Rightarrow$$ $$\;$$ $$\color{blue}\left(x+6\right)\times x$$
On développe : $$\left(x+6\right)\times x=x\times x+6\times x=x^{2}+6x$$

C'est pour cela que les lignes $$2$$ et $$3$$ du tableur sont identiques.