Équations et programme de calculs

Savoir résoudre des problèmes se ramenant à des équations du premier degré - Exercice 4

14 min
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COMPETENCES:
1°) Résoudre des problèmes, analyser et exploiter ses erreurs.
2°) Savoir résoudre une équation et calculer en utilisant le langage algébrique. (Lettres, symboles, etc).
Question 1
On propose deux programmes de calculs ci-dessous :

Exprimer en fonction de xx le nombre NN obtenu à l'issue du programme de calcul AA.

Correction
1°) Déterminons le résultat obtenu en fonction de x pour le programme A :
première étape :
Le nombre choisi est x.\color{blue}x.
deuxième étape :
On ajoute 22 à ce nombre. C'est-à-dire additionner 22 à xx.
On obtient donc       \;\;\;\color{red}\Longrightarrow       \;\;\; x+2.\color{blue}x+2.
troisième étape :
On doit ici multiplier le résultat obtenu par 22, c'est-à-dire : 2×(x+2)2\times(x+2)
Ici il faut bien faire attention de mettre (x+2) entre parenthèses.
En effet : 2×(x+2)2×x+2 \color{red}2\times(x+2)\ne 2\times{x}+2
2×(x+2)=2\times(x+2)=
2×x+2×2=2\times{x}+2\times2=
2x+42x+4
On obtient donc   \;\color{red}\Rightarrow   \; 2x+4.\color{blue}2x+4.
On peut donc conclure que N=2x+4\color{blue}\boxed{N=2x+4}
Question 2

Exprimer en fonction de xx le nombre MM obtenu à l'issue du programme de calcul BB.

Correction
2)° Déterminons le résultat obtenu en fonction de x pour le programme B :
première étape :
Le nombre choisi est x.\color{blue}x.
deucième étape :
On soustrait 33 à ce nombre. C'est-à-dire soustraire 33 à xx.
On obtient donc       \;\;\;\color{red}\Rightarrow   \; x3.\color{blue}x-3.
troisième étape :
On doit ici multiplier le résultat obtenu par 33, c'est-à-dire : 3×(x3)3\times(x-3)
Ici il faut bien faire attention de mettre (x-3) entre parenthèses.
En effet : 3×(x3)3×x3\color{red}3\times(x-3)\ne 3\times{x}-3
3×(x3)=3\times(x-3)=
3×x+3×(3)=3\times{x}+3\times(-3)=
3x93x-9
On obtient donc   \;\color{red}\Rightarrow   \; 3x9.\color{blue}3x-9.
On peut donc conclure que M=3x9\color{blue}\boxed{M=3x-9}
Question 3

Pour quel nombre choisi au départ le résultat obtenu au programme AA est égal au résultat obtenu au programme BB.

Correction
Avoir le même résultat à l'issue des deux programmes signifie que : N=M.\color{blue}N=M.
Or N=2x+4N=2x+4    \;\;et      \;\;\; M=3x9M=3x-9. Par conséquent on doit résoudre l'équation suivante :
2x+4=3x92x+4=3x-9
  • On doit dans un premier temps rassembler les termes en xx dans le membre de gauche .

2x+43x=3x93x2x+4{\color{blue}-3x}=3x-9{\color{blue}-3x}. On soustrait 3x{\color{blue}3x} à chaque membre .
x+4=9-x+4=-9
x+44=94-x+4{\color{blue}-4}=-9{\color{blue}-4}. On soustrait 4{\color{blue}4} à chaque membre .
x=13-x=-13
x1=131\frac{-x}{\color{blue}-1}=\frac{-13}{\color{blue}-1}. On divise chaque membre par le nombre devant le xx qui ici vaut 1{\color{blue}-1}.

Ainsi :
x=13x=13

On peut donc conclure que le nombre à choisir pour obtenir le même résultat à l'issue des 2 programmes est 13.{\color{red}13.}