Équations et programme de calculs

Savoir résoudre des problèmes se ramenant à des équations du premier degré - Exercice 2

12 min
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COMPETENCES:
1°) Résoudre des problèmes, analyser et exploiter ses erreurs.
2°) Savoir résoudre une équation et calculer en utilisant le langage algébrique. (Lettres, symboles, etc).
Question 1
Considérons le quadrilatère DEFGDEFG ci-dessous :

Pour quelle valeur de xx le périmètre du quadrilatère DEFGDEFG est de 47  cm  ?47\;cm\;?

Correction
Le périmètre d'un quadrilatère est : co^teˊ+co^teˊ+co^teˊ+  co^teˊcôté+côté+côté+\;côté donc :
peˊrimeˋtreDEFG=DE+EF+FG+GDpérimètre_{DEFG}=DE+EF+FG+GD.
peˊrimeˋtreDEFG=(2x+2)+(5x1)+(3x2)+(x+4)périmètre_{DEFG}=(2x+2)+(5x-1)+(3x-2)+(x+4).
peˊrimeˋtreDEFG=2x+2+5x1+3x2+x+4périmètre_{DEFG}=2x+2+5x-1+3x-2+x+4. Ici, on peut supprimer les parenthèses car elles sont précédées d'un signe +\color{red}+.
peˊrimeˋtreDEFG=2x+5x+3x+x+212+4périmètre_{DEFG}=2x+5x+3x+x+2-1-2+4.
peˊrimeˋtreDEFG=11x+3\color{blue}périmètre_{DEFG}=11x+3.
Or dans l'énoncé, on sait que le périmètre du quadrilatère DEFGDEFG est de 47  cm47\;cm.
On doit donc ici résoudre l'équation suivante \color{red}\Rightarrow   \;11x+3=4711x+3=47
11x+33=47311x+3{\color{blue}-3}=47{\color{blue}-3}   \;On soustrait 3{\color{blue}3} à chaque membre.
11x=4411x=44
11x11=4411\frac{11x}{\color{blue}11}=\frac{44}{\color{blue}11}. On divise chaque membre par le nombre devant le xx qui ici vaut 11{\color{blue}11}.
Ainsi :
x=4x=4

On peut donc conclure que pour x=4\color{blue}x=4, le périmètre du quadrilatère DEFG est de 47  cm\color{blue}47\;cm.
Question 2
Considérons le rectangle ABCDABCD et le carré IJKLIJKL ci-dessous :

Pour quelle valeur de xx le périmètre du rectangle ABCDABCD est égale au périmètre du carré IJKL?IJKL?

Correction
1°) Déterminons dans un premier temps le périmètre du rectangle ABCD :
Un rectangle à ses côtés opposés de même longueur. Donc AB=DC=6x5AB=DC=6x-5       \;\;\; et      \;\;\; AD=BC=x+1AD=BC=x+1.
Donc le périmètre du rectangle est : (longueur+largeur)×2(longueur+largeur)\times{2}
peˊrimeˋtreABCD=(6x5+x+1)×2périmètre_{ABCD}=(6x-5+x+1)\times2.
peˊrimeˋtreABCD=(7x4)×2périmètre_{ABCD}=(7x-4)\times{2}.
peˊrimeˋtreABCD=2×7x+2×(4)périmètre_{ABCD}=2\times{7x}+2\times{(-4)}.
peˊrimeˋtreABCD=14x8\color{blue}périmètre_{ABCD}=14x-8.
Déterminons dans un second temps le périmètre du carré IJKL :
Le carré à 44 côtés de même longueur. Donc son périmètre est : 4×  co^teˊ4\times\;côté
Ici on sait que IJ=4x3IJ=4x-3. Par conséquent :
peˊrimeˋtreIJKL=4×(4x3)périmètre_{IJKL}=4\times(4x-3).
peˊrimeˋtreIJKL=4×4x+4×(3)périmètre_{IJKL}=4\times{4x}+4\times{(-3)}.
peˊrimeˋtreIJKL=16x12\color{blue}périmètre_{IJKL}=16x-12.
On souhaite déterminer la valeur de xx pour que le périmètre du rectangle ABCDABCD soit égale au périmètre du carré IJKLIJKL
On doit donc ici résoudre l'équation suivante \color{red}\Longrightarrow       \;\;\;14x8=16x1214x-8=16x-12
  • On doit dans un premier temps rassembler les termes en xx dans le membre de gauche.

14x816x=16x1216x14x-8{\color{blue}-16x}=16x-12{\color{blue}-16x}   \;On soustrait 16x{\color{blue}16x} à chaque membre.
2x8=12-2x-8=-12
2x8+8=12+8-2x-8{\color{blue}+8}=-12{\color{blue}+8}        \;\;\;\;On additionne 8{\color{blue}8} à chaque membre.
2x=4-2x=-4
2x2=42\frac{-2x}{\color{blue}-2}=\frac{-4}{\color{blue}-2}. On divise chaque membre par le nombre devant le xx qui ici vaut 2{\color{blue}-2}.

Ainsi :
x=2x=2

On peut donc conclure que pour x=2\color{blue}x=2, le périmètre du rectangle ABCD est égale au périmètre du carré IJKL.