Polynésie 26 juin 2026 - Exercice 1

20 min
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Dans cet exercice, xx représente un nombre supérieur ou égal à 55.
Voici, ci-dessous, deux figures géométriques : un rectangle ABCDABCD et un triangle isocèle IJKIJK.
Question 1
Partie A

Calculer la longueur ABAB pour x=10x=10.

Correction
D'après la figure, AB=3x+1AB=3x+1. Pour x=10x=10 :
AB=3×10+1AB=3\times 10+1
AB=30+1AB=30+1
AB=31AB=31
Question 2

Justifier que le périmètre du rectangle ABCDABCD vaut 7878 pour x=10x=10.

Correction
D'après la figure, AD=x−2AD=x-2. Pour x=10x=10 : AD=10−2=8AD=10-2=8.
Un rectangle a ses côtés opposés de même longueur : CD=AB=31CD=AB=31 et BC=AD=8BC=AD=8.
PABCD=2×(AB+AD)\mathcal{P}_{ABCD}=2\times\left(AB+AD\right)
PABCD=2×(31+8)\mathcal{P}_{ABCD}=2\times\left(31+8\right)
PABCD=2×39\mathcal{P}_{ABCD}=2\times 39
PABCD=78\mathcal{P}_{ABCD}=78
Le périmètre du rectangle ABCDABCD vaut bien 7878 pour x=10x=10.
Question 3

Montrer que le périmètre du rectangle ABCDABCD, en fonction de xx, est 8x−28x-2.

Correction
Distributivité simple : pour tous nombres relatifs kk, aa et bb :
k(a+b)=k×a+k×b{\color{red}\boxed{k\left(a+b\right)=k\times a+k\times b}}
PABCD=2×(AB+AD)\mathcal{P}_{ABCD}=2\times\left(AB+AD\right)
PABCD=2×(3x+1+x−2)\mathcal{P}_{ABCD}=2\times\left(3x+1+x-2\right)
PABCD=2×(4x−1)\mathcal{P}_{ABCD}=2\times\left(4x-1\right)
PABCD=2×4x−2×1\mathcal{P}_{ABCD}=2\times 4x-2\times 1
PABCD=8x−2\mathcal{P}_{ABCD}=8x-2
Le périmètre du rectangle ABCDABCD est bien 8x−28x-2.
Question 4
Partie B
Nour a exprimé, en fonction de xx, le périmètre du triangle isocèle IJKIJK et a obtenu 6x+96x+9.
Nour souhaite trouver pour quelle valeur de xx le périmètre du rectangle ABCDABCD et le périmètre du triangle IJKIJK sont égaux.
Pour cela, Nour a créé le programme Scratch ci-dessous qui permet de tester, pour une valeur donnée de xx, si les périmètres sont égaux :

Question algorithmique
Que renvoie le programme si Nour saisit 77 ?

Correction
Avec x=7x=7 :
  • Périmètre ABCD =8×7−2=56−2=54=8\times 7-2=56-2=54 ;
  • Périmètre IJK =6×7+9=42+9=51=6\times 7+9=42+9=51.
    • 54≠5154\neq 51 : la condition « Périmètre ABCD = Périmètre IJK » est fausse, le programme exécute donc la partie « sinon ».
    Le programme dit « Les deux périmètres ne sont pas égaux » pendant 22 secondes.
    Question 5
    Avec le programme précédent, Nour n'a pas réussi à trouver une valeur exacte de xx pour laquelle le périmètre du rectangle et le périmètre du triangle sont égaux.
    Nour décide d'utiliser un tableur et les formules trouvées précédemment : 8x−28x-2 pour le périmètre du rectangle ABCDABCD et 6x+96x+9 pour le périmètre du triangle isocèle IJKIJK.
    Voici un extrait de la feuille de calcul :

    Recopier sur la copie la formule que Nour a saisie dans la cellule B2 avant de l'étirer vers le bas pour obtenir les résultats affichés.

    Correction
    Dans un tableur, une formule commence toujours par le signe =. La multiplication s'écrit *. En étirant une formule, les références des cellules se décalent (B1 devient C1, D1… vers la droite ; A2 devient A3, A4… vers le bas).
    La valeur de xx est dans la cellule A2, et le périmètre du rectangle vaut 8x−28x-2.
    La formule saisie en B2 est : = 8 * A2 - 2

    Les autres formules ne conviennent pas : = 8 * 5 - 2 donnerait toujours 3838, = 8 * B2 - 2 utilise la cellule B2 elle-même, et = 8 * A1 - 2 utilise la cellule A1 qui contient la lettre xx et non un nombre.
    Question 6

    En observant sa feuille de calcul, Nour affirme : « S'il existe une valeur de xx pour laquelle le périmètre du rectangle ABCDABCD et le périmètre du triangle IJKIJK sont égaux, elle est comprise entre 55 et 66. »
    Expliquer le raisonnement de Nour.
    Argumenter la réponse en précisant la démarche.

    Correction
  • Pour x=5x=5 : le périmètre du rectangle (3838) est inférieur à celui du triangle (3939).
  • Pour x=6x=6 : le périmètre du rectangle (4646) est supérieur à celui du triangle (4545).
    • Entre 55 et 66, le périmètre du rectangle « dépasse » celui du triangle : il y a donc une valeur de xx entre 55 et 66 pour laquelle les deux périmètres sont égaux.
    Ensuite, pour xx de 66 à 1313, le périmètre du rectangle reste toujours plus grand, et l'écart augmente.
    C'est pourquoi la valeur cherchée est comprise entre 55 et 66.
    Question 7

    Comme elle n'a pas obtenu la solution exacte avec les méthodes précédentes, Nour propose de résoudre algébriquement l'équation 8x−2=6x+98x-2=6x+9.
    Résoudre cette équation afin de déterminer la valeur exacte de xx pour laquelle le périmètre du rectangle et le périmètre du triangle sont égaux.

    Correction
    • On doit dans un premier temps rassembler les termes en xx dans le membre de gauche.
    8x−2=6x+98x-2=6x+9
    8x−2−6x=6x+9−6x8x-2{\color{blue}-6x}=6x+9{\color{blue}-6x} On soustrait 6x{\color{blue}6x} à chaque membre.
    2x−2=92x-2=9
    2x−2+2=9+22x-2{\color{blue}+2}=9{\color{blue}+2} On additionne 2{\color{blue}2} à chaque membre.
    2x=112x=11
    2x2=112\dfrac{2x}{\color{blue}2}=\dfrac{11}{\color{blue}2} On divise chaque membre par le nombre devant le xx qui ici vaut 2{\color{blue}2}.
    Ainsi :
    x=5,5x=5{,}5

    L'ensemble des solutions est S={5,5}S=\left\{5{,}5\right\}.
    Les deux périmètres sont égaux pour x=5,5x=5{,}5 : ils valent alors 8×5,5−2=428\times 5{,}5-2=42 et 6×5,5+9=426\times 5{,}5+9=42. Cette valeur est bien comprise entre 55 et 66.

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